Berechnung von Wendepunkten < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sei die Funktionenschar ft(x) = e^(tx - x²) für tER
Untersuche die Funktion auf Wendepunkte (notwendige Bedingung genügt). |
Hallo,
um die Wendestellen auszurechnen habe ich erst einmal die Ableitungen berechnet.
ft'(x) = (t - 2x) * e^(tx - x²)
ft''(x) = (t² - 4tx + 4x² - 2) * e^(tx - x²)
Dann habe ich ft''(x) = 0 gesetzt und habe folgende Wendestellen ermittelt:
x1 = [mm] \wurzel{0,5} [/mm] + t/2
x2 = [mm] -\wurzel{0,5} [/mm] + t/2
Nun meine Frage: Wie ermittle ich nun, ob es an diesen beiden möglichen Stellen tatsächlich einen Wendepunkt gibt? Normalerweise würde man ja das Vorzeichenwechselkriterium mit ft''(x) nutzen, geht das hier auch? Und wenn ja, wie? Wie sähe dann die Fallunterscheidung aus?
Vielen Dank bereits im Voraus!
Liebe Grüße
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Hallo,
> Gegeben sei die Funktionenschar ft(x) = e^(tx - x²) für
> tER
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> Untersuche die Funktion auf Wendepunkte (notwendige
> Bedingung genügt).
> Hallo,
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> um die Wendestellen auszurechnen habe ich erst einmal die
> Ableitungen berechnet.
>
> ft'(x) = (t - 2x) * e^(tx - x²)
> ft''(x) = (t² - 4tx + 4x² - 2) * e^(tx - x²)
>
> Dann habe ich ft''(x) = 0 gesetzt und habe folgende
> Wendestellen ermittelt:
>
> x1 = [mm]\wurzel{0,5}[/mm] + t/2
> x2 = [mm]-\wurzel{0,5}[/mm] + t/2 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Nun meine Frage: Wie ermittle ich nun, ob es an diesen
> beiden möglichen Stellen tatsächlich einen Wendepunkt
> gibt? Normalerweise würde man ja das
> Vorzeichenwechselkriterium mit ft''(x) nutzen, geht das
> hier auch? Und wenn ja, wie? Wie sähe dann die
> Fallunterscheidung aus?
Das ist hier gar nicht so einfach, weil die zweite Ableitung ein ziemliches Monster ist und auch die Nullstellen unangenehm sind...
Zusätzlich zu der von dir bereits benannten Möglichkeit, könntest du noch überprüfen, ob eine höhere Ableitung an den verdächtigen Stellen [mm] \neq0 [/mm] ist. All das ist viel Rechnerei 
In der Aufgabenstellung steht aber, dass du nur das notwendige Kriterium überprüfen sollst. Das hast du bereits getan. Die Aufgabensteller wussten schon, dass es etwas viel Arbeit machen würde, ein hinreichendes Kriterium zu überprüfen.
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> Vielen Dank bereits im Voraus!
>
> Liebe Grüße
LG
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Ahhhh, okay 
Jetzt verstehe ich, was man von mir will. Ich dachte, dass die "notwendige Bedingung genügt", also dass es reicht, wenn ich die 1. und 2. Ableitung berechne anhand diese dann auf Wendepunkte überprüfen kann.
Aber was kann ich denn nun sagen? Hat die Funktion Wendepunkte? Weil in der Aufgabenstellung heißt es ja: "Untersuche die Funktion auf Wendepunkte". Ich kenne jetzt aber nun lediglich mögliche Wendestellen, nicht aber die Wendepunkte...
Vielen Dank für die schnelle Antwort!
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Hi, piepmatz,
> Ahhhh, okay
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> Jetzt verstehe ich, was man von mir will. Ich dachte, dass
> die "notwendige Bedingung genügt", also dass es reicht,
> wenn ich die 1. und 2. Ableitung berechne anhand diese dann
> auf Wendepunkte überprüfen kann.
Die "notwendige Bedingung" für WPs ist: 2.Ableitung gleich null.
Das soll hier laut Aufgabenstellung genügen!
> Aber was kann ich denn nun sagen? Hat die Funktion
> Wendepunkte? Weil in der Aufgabenstellung heißt es ja:
> "Untersuche die Funktion auf Wendepunkte". Ich kenne jetzt
> aber nun lediglich mögliche Wendestellen, nicht aber die
> Wendepunkte...
Naja, doch:
1. sagt Dir der Aufgabensteller: Wenn Du f''(x)=0 gesetzt hast, dann SIND dies die Wendestellen; Du brauchst die hinreichende Bedingung nicht nachzuprüfen!
2. Wenn Du's aber DOCH ganz genau wissen möchtest, dann geh' folgendermaßen vor:
- EINfache Nullstellen von f'' sind IMMER Wendestellen.
- Heißt hier: Du musst nur überprüfen, ob Deine berechneten x-Werte wirklich EINfache Nullstellen von f'' sind.
- Letztlich hast Du ja zu deren Berechnung einen quadratischen Term =0 gesetzt.
- Ob dieser zwei einfache, eine doppelte oder gar keine NS besitzt, hängt von der Diskriminante ab.
- Diese Diskriminante ist hier eindeutig POSITIV.
- Daher gibt es IMMER zwei EINfache Lösungen und
- diese sind daher Wendestellen.
Fertig!
mfG!
Zwerglein
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:18 Sa 12.03.2011 | | Autor: | piepmatz92 |
Vielen Dank!
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