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| Aufgabe | | berechnen sie die Laurentreihe von [mm] \bruch{sin(z-i)}{(i-z)^{4}} [/mm] |
Hallo,
ich verstehe nicht wie ich vorgehen muss. Ich stehe bei dem Thema total auf dem Schlauch.
In der Vorlesung wurde die Laurentreihe Definiert als
[mm] f(z)=\summe_{k=-\infty}^{\infty}c_{k}(z-z_{0})^{k}
[/mm]
und [mm] c_{k}=\bruch{1}{2\pi i}\integral_{|z-z_{0}|}^{}{\bruch{f(w)}{(w-z_{0})^{k+1}}dw}
[/mm]
Ist mein Integrationsweg des Wegintegral über den Kreis mit dem Radius des Konvergenzradius?
Bei allen Beispielaufgabe wird immer erst eine Partialbruchzerlegung durchgeführt. Warum? Sind die Laurentreihen dann einfacher zu berechnen? In der Aufgabe könnte ich ja den Sinus in Reihendarstellung angeben und [mm] \bruch{1}{(i-z)^{4}} [/mm] als gemetrische Reihe.
Und mein Konvergenzradius wäre indiesem Fall 1?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:35 Sa 06.02.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> berechnen sie die Laurentreihe von
> [mm]\bruch{sin(z-i)}{(i-z)^{4}}[/mm]
> Hallo,
> ich verstehe nicht wie ich vorgehen muss. Ich stehe bei
> dem Thema total auf dem Schlauch.
>
>
> In der Vorlesung wurde die Laurentreihe Definiert als
>
> [mm]f(z)=\summe_{k=-\infty}^{\infty}c_{k}(z-z_{0})^{k}[/mm]
>
> und [mm]c_{k}=\bruch{1}{2\pi i}\integral_{|z-z_{0}|}^{}{\bruch{f(w)}{(w-z_{0})^{k+1}}dw}[/mm]
>
> Ist mein Integrationsweg des Wegintegral über den Kreis
> mit dem Radius des Konvergenzradius?
Eine beliebiger Kreis im Konvergenzring. Eine Laurentreihe hat immer zwei Radien: den inneren und äußeren Radius des Konvergenzringes.
>
> Bei allen Beispielaufgabe wird immer erst eine
> Partialbruchzerlegung durchgeführt. Warum? Sind die
> Laurentreihen dann einfacher zu berechnen? In der Aufgabe
> könnte ich ja den Sinus in Reihendarstellung angeben und
> [mm]\bruch{1}{(i-z)^{4}}[/mm] als gemetrische Reihe.
Um welchen Punkt soll die Reihe denn entwickelt werden? Wenn um $i$, wie ich vermute, dann brauchst du keine geometrische Reihe, sonst ja.
> Und mein Konvergenzradius wäre indiesem Fall 1?
Kommt auf den Entwicklungspunkt an.
Viele Grüße
Rainer
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es es soll um i entwickelt werden, hatte ich vergessen hinzuzufügen. Warum brauche ich da keine geometrische Reihe? Und wie könnte ich das lösen?
mfg
Runkel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:22 Sa 06.02.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo Runkel!
> es es soll um i entwickelt werden, hatte ich vergessen
> hinzuzufügen. Warum brauche ich da keine geometrische
> Reihe? Und wie könnte ich das lösen?
Es ist doch [mm] $\sin(z) [/mm] = [mm] \sum_{n=0}^\infty a_n z^n$ [/mm] fuer gewisse [mm] $a_n$, [/mm] und damit ist [mm] $\sin(z [/mm] - i) = [mm] \sum_{n=0}^\infty a_n [/mm] (z - [mm] i)^n$ [/mm] und schliesslich [mm] $\frac{\sin(z - i)}{(z - i)^4} [/mm] = [mm] \sum_{n=-4}^\infty a_{n+4} [/mm] (z - [mm] i)^n$. [/mm] Und siehe da, das ist doch deine gesuchte Laurent-Reihe.
LG Felix
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okay danke,
Dann hab ich noch eine Frage.
Soll ich zB [mm] f(z)=\bruch{1}{(z-1)(z-2)} [/mm] entwickeln, kann ich das ja schreiben als [mm] \bruch{1}{1-z}-\bruch{1}{2-z}. [/mm] Für die Entwicklung in 1<|z|<2 muss ich die Brüche anscheinend noch umformen um sie Entwickeln zu können, warum das? Bleiben die nicht dieselben?
Wenn ich [mm] \bruch{1}{1-z} [/mm] schreibe als [mm] \bruch{1}{-1/z(1-1/z)} [/mm] und das dann als Reihe schreibe ändert sich doch nix am Konvergenzverhalten, oder?
mfg
Runkel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:37 So 07.02.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Runkel!
> Soll ich zB [mm]f(z)=\bruch{1}{(z-1)(z-2)}[/mm] entwickeln, kann ich
> das ja schreiben als [mm]\bruch{1}{1-z}-\bruch{1}{2-z}.[/mm] Für
> die Entwicklung in 1<|z|<2 muss ich die Brüche anscheinend
> noch umformen um sie Entwickeln zu können, warum das?
Nun, die Brueche sind keine Laurentreihen. Also musst du sie als solche entwickeln.
Du hast ja zwei Brueche, einmal [mm] $\fac{1}{1 - z}$ [/mm] und einmal [mm] $\frac{1}{2 - z} [/mm] = [mm] \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - (z/2)}$. [/mm] Da $|z| < 2$ ist, ist $|z/2| < 1$. Also kannst du [mm] $\frac{1}{1 - (z/2)}$ [/mm] mit Hilfe der geometrischen Reihe "ganz normal" entwickeln.
Den Bruch [mm] $\frac{1}{1 - z}$ [/mm] musst du genauer anschauen. Die geometrische Reihe hilft dir nicht, die konvergiert nur fuer $|z| < 1$, aber du brauchst ja den Fall $|z| > 1$. Jetzt ist aber [mm] $\frac{1}{1 - z} [/mm] = [mm] \frac{1/z}{1/z - 1} [/mm] = [mm] \frac{-1}{z} \cdot \frac{1}{1 - (1/z)}$, [/mm] und $|1/z| < 1$. Also kannst du [mm] $\frac{1}{1 - (1/z)}$ [/mm] wieder mit der geometrischen Reihe entwickeln.
> Bleiben die nicht dieselben?
> Wenn ich [mm]\bruch{1}{1-z}[/mm] schreibe als [mm]\bruch{1}{-1/z(1-1/z)}[/mm]
Nee, das geht so nicht, der Bruch rechts ist ja [mm] $\frac{1}{-1/z + 1/z^2}$ [/mm] und nicht [mm] $\frac{1}{1 - z}$.
[/mm]
LG Felix
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ja da hat ich mich verrschaut. Danke, das hilft mir sehr weiter.
mfg
Runkel
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