Berechnung von Integralen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:34 So 18.05.2008 | | Autor: | Zweiti |
| Aufgabe | Berechnen Sie
[mm] \integral{\bruch{3x+2}{x^{3}-6x^{2}+11x-6}}dx [/mm] |
Hallo,
ich soll das obige Integral berechnen. Ich weiß dass das mit Partialbruchzerlegung funktioniert, aber ich finde keinen Ansatz dafür.
Danke Zweiti
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Zweiti,
Partialbruchzerlegung ist genau das richtige Stichwort:
Du musst dazu das Nennerpolynom faktorisieren.
Bestimme also die NSTen des Nenners (eine raten, Rest per Polynomdivision und p/q-Formel oder wie auch immer)
Auf jeden Fall kannst du den Nenner schreiben als
[mm] $x^3-6x^2+11x-6=(x-1)(x-2)(x-3)$
[/mm]
Damit ergibt sich also für die PBZ der Ansatz:
[mm] $\frac{3x+2}{x^3-6x^2+11x-6}=\frac{3x+2}{(x-1)(x-2)(x-3)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{x-3}$
[/mm]
Führe mal diese PBZ durch, dann kannst du dein Integral in die Summe dreier vergleichsweise einfacherer Integrale aufspalten
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:19 So 18.05.2008 | | Autor: | Zweiti |
Ok danke,
dann ergibt sich also [mm] \integral{\bruch{\bruch{5}{2}}{x-1}dx} [/mm] + [mm] \integral{\bruch{-8}{x-2}dx} [/mm] + [mm] \integral{\bruch{\bruch{11}{2}}{x-3}dx}
[/mm]
und somit ist die lösung dann
[mm] \bruch{5}{2}ln|x-1|-8ln|x-2|+\bruch{11}{2}ln|x-3|+C [/mm]
Stimmt das?
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Hallo nochmal,
> Ok danke,
>
> dann ergibt sich also
> [mm]\integral{\bruch{\bruch{5}{2}}{x-1}dx}[/mm] + [mm]\integral{\bruch{-8}{x-2}dx}[/mm] + [mm]\integral{\bruch{\bruch{11}{2}}{x-3}dx}[/mm]
>
> und somit ist die lösung dann
>
> [mm]\bruch{5}{2}ln|x-1|-8ln|x-2|+\bruch{11}{2}ln|x-3|+C[/mm] ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Das sieht sehr gut aus !
>
> Stimmt das?
Jo
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:48 So 18.05.2008 | | Autor: | Zweiti |
| Aufgabe | Man berechne
[mm] \integral_{0}^{\infty}{e^{-ax}sinbx dx} [/mm] (a,b >0) |
Hallo nochmal
Noch ein Integral, aber das funktioniert mit partieller Integration,
d.h
ich bekomme
[mm] -\bruch{1}{a}e^{-ax}sin(bx)+\bruch{b}{a}\integral{e^{-ax}cosbx dx}
[/mm]
und dann??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:03 So 18.05.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Man berechne
>
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{e^{-ax}sinbx dx}[/mm] (a,b >0)
> Hallo nochmal
>
> Noch ein Integral, aber das funktioniert mit partieller
> Integration,
> d.h
>
> ich bekomme
>
> [mm]-\bruch{1}{a}e^{-ax}sin(bx)+\bruch{b}{a}\integral{e^{-ax}cosbx dx}[/mm]
>
> und dann??
Nochmal partiell integrieren (wieder das [mm] e^{-ax} [/mm] aufleiten und das cos(bx) ableiten). Dann hast du wieder ein Integral der Form [mm] \integral{e^{-ax}sinbx dx} [/mm] dastehen, welches du auf die andere Seite bringen kannst.
Pass' ausserdem bei der ganzen Berechnung auf, dass du ja ein uneigentliches Integral hast, d.h. du musst [mm] \integral_{0}^{\infty} [/mm] auflösen zu [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{0}^{n} [/mm] und erst dann kannst du die partielle Integration auf das Integral anwenden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:43 So 18.05.2008 | | Autor: | Zweiti |
Danke
So nach dem zweiten Mal integrieren ergibt sich
[mm] \integral_{0}^{\infty}{e^{-ax}sinbx dx} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{a}e^{-ax}sin(bx)-\bruch{b}{a^{2}}e^{-ax}cos(bx)-\bruch{b^{2}}{a^{2}}\integral{e^{-ax}sinbx dx}
[/mm]
dh es folgt [mm] \integral_{0}^{\infty}{e^{-ax}sinbx dx} [/mm] = [mm] -\bruch{a}{a^{2}+b^{2}}e^{-ax}sin(bx)-\bruch{b}{a^{2}+b^{2}}e^{-ax}cos(bx)
[/mm]
Stimmts soweit?
Ich hab nur nicht verstanden, was du genau mit der Schreibweise wg dem uneigentlichen Integral meinst? Wie muss ich dass denn jetzt noch genau ausrechnen ?
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Hallo Zweiti,
> Danke
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> So nach dem zweiten Mal integrieren ergibt sich
>
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{e^{-ax}sinbx dx}[/mm] =
> [mm]-\bruch{1}{a}e^{-ax}sin(bx)-\bruch{b}{a^{2}}e^{-ax}cos(bx)-\bruch{b^{2}}{a^{2}}\integral{e^{-ax}sinbx dx}[/mm]
>
> dh es folgt [mm]\integral_{0}^{\infty}{e^{-ax}sinbx dx}[/mm] =
> [mm]\left[-\bruch{a}{a^{2}+b^{2}}e^{-ax}sin(bx)-\bruch{b}{a^{2}+b^{2}}e^{-ax}cos(bx)\right]_0^{\infty}[/mm]
>
> Stimmts soweit?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") bis auf die verschlabberten Grenzen am Ende ja!
Setze als obere Grenze ein festes $n$, rechne also [mm] $\left[-\bruch{a}{a^{2}+b^{2}}e^{-ax}sin(bx)-\bruch{b}{a^{2}+b^{2}}e^{-ax}cos(bx)\right]_0^{n}$ [/mm] aus und mache dann den Grenzübergang [mm] $n\to\infty$
[/mm]
Merle hat ja schon geschrieben, dass [mm] $\int\limits_{0}^{\infty}{f(x) \ dx}=\lim\limits_{n\to\infty}\int\limits_0^{n}{f(x) \ dx}$ [/mm] ist
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> Ich hab nur nicht verstanden, was du genau mit der
> Schreibweise wg dem uneigentlichen Integral meinst? Wie
> muss ich dass denn jetzt noch genau ausrechnen ?
>
LG
schachuzipus
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