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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:44 Di 04.07.2006 | | Autor: | Puma1981 |
Sei f: [mm] \IR \to \IR [/mm] eine zweifach stetig diffenzierbare Funktion, A [mm] \in \IR^{nxn} [/mm] eine reguläre Matrix, c [mm] \in \IR^{n} [/mm] ein Vektor.
g : [mm] \IR^{n} \to \IR [/mm] sei definiert durch g(x) := f(Ax+c).
Gesucht: Gradient von g und zweite Ableitung von g.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:53 Di 04.07.2006 | | Autor: | MatthiasKr |
Hallo puma,
> Sei f: [mm]\IR \to \IR[/mm] eine zweifach stetig diffenzierbare
> Funktion, A [mm]\in \IR^{nxn}[/mm] eine reguläre Matrix, c [mm]\in \IR^{n}[/mm]
> ein Vektor.
> g : [mm]\IR^{n} \to \IR[/mm] sei definiert durch g(x) := f(Ax+c).
>
> Gesucht: Gradient von g und zweite Ableitung von g.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
ich nehme an, dass [mm] $f:\IR^n\to \IR$ [/mm] gelten soll, sonst macht die aufgabe nämlich keinen sinn.
wie sehen deine ansätze aus? du musst hier natürlich die mehrdim. kettenregel anwenden.
Gruß
Matthias
PS: rudimentäre gesten der höflichkeit wie begrüßung etc. sind hier im forum gerne gesehen und erhöhen die chance auf eine antwort.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:44 Di 04.07.2006 | | Autor: | Puma1981 |
Hallo Matthias,
man muss schon sagen, dass dieses Forum erhebliche defizite in der Benutzerfreundlichkeit aufweist. Da kann man schon mal die "rudimentäre Gesten der Höflichkeit" vergessen. Ist putzig formuliert! :o) Aber war mit dem Vorschaufenster und dem fehlenden Gradientenzeichen in der Hilfe unten schon genug beschäftigt. Naja, bequem und handlich ist was anderes, aber genug gejammert. Zur Aufgabe.
Du hast natürlich ganz recht, f soll eine Funktion vom [mm] \IR^{n} [/mm] in den [mm] \IR [/mm] sein.
Naja, die mehrdimensionale Kettenregel ist mir leider nicht mehr ganz so geläufig. :o(
Klar ist, dass der Gradient von g ein n-dimensionaler Vektor sein sollte und die Hessematrix von g eine nxn-dimensionale Matrix sein sollte.
Aber wenn ich stur nach Definition vorgehe komme ich leider nicht wirklich weiter, bzw. bin mir nicht sicher ob ich da richtig handle.
Wie weit ich komme:
g(x) := f(Ax+c)= [mm] f\vektor{\summe_{i=1}^{n} (a_{1 i}*x_{i})+c_{1}\\...\\ \summe_{i=1}^{n} (a_{n i}*x_{i})+c_{n} } [/mm] ; y=Ax+c
grad g(x) = [mm] \vektor{\bruch{\partial g(x)}{\patial x_{1}}\\ .... \\\bruch{\partial g(x)}{\patial x_{n}}}=\vektor{\bruch{\partial f(Ax+c)}{\patial x_{1}}\\ .... \\\bruch{\partial f(Ax+c)}{\patial x_{n}}}=\vektor{\bruch{\partial f(y)}{\partial y}* \bruch{\partial y}{\partial x_{1}}\\ ....\\ \bruch{\partial f(y)}{\partial y}* \bruch{\partial y}{\partial x_{n}}}=\vektor{grad f(x)*(a_{1 1}, ... , a_{1 n})^{T}\\...\\grad f(x)*(a_{n 1}, ... ,a_{n n})^{T}}=A [/mm] * grad f(y) = A * grad f(Ax+c) (stimmt das?)
[mm] grad^{2} [/mm] g(x) = [mm] \vektor{\bruch{\partial g(x)}{ \partial x_{1}*\partial x_{1}} ... \bruch{ \partial g(x)}{ \partial x_{1}*\partial x_{n}}\\ .... \\\bruch{ \partial g(x)}{\partial x_{n}*\partial x_{1}} ... \bruch{\partial g(x)}{ \partial x_{n}*\partial x_{n}}}= A^{2} [/mm] * [mm] grad^{2} [/mm] f(Ax+c)
(? So aus dem Bauchgefühl! :o) Stimmt das?)
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Hallo Puma,
naja, so schlecht, was benutzer-freundlichkeit angeht, finde ich das forum nicht, aber das ist vielleicht geschmacks- und gewöhnungssache....
leider gibt es hier sehr viele leute, die gruß- und kommentarlos ihre übungsaufgaben posten, deshalb reagieren die stammuser auf solches verhalten etwas allergisch...
meinst mit gradientenzeichen den nabla-operator [mm] $\nabla$?
[/mm]
Was deine aufgabe angeht: [mm] $g(x):=f(A\cdot [/mm] x +c)$ ableiten.
ich denke, was du gerechnet hast, stimmt größtenteils, allerdings kommt man mit stupider anwendung der kettenregel auf:
[mm] $\nabla g(x)=\nabla f(A\cdot [/mm] x [mm] +c)\cdot [/mm] A$
wobei [mm] $\nabla$ [/mm] als zeilenvektor aufgefasst werden muss, damit der matrizenkalkül funktioniert. Ich bin mir jetzt nicht absolut sicher, aber ich glaube bei dir ist die reihenfolge der multiplikation falsch. $y=Ax+c$ ist ja eine lineare funktion, insofern musst du hier wohl nicht groß argumentieren, dass die ableitung A ist.
Als zweite ableitung erhält man analog
[mm] $\nabla^2 g(x)=\nabla^2 [/mm] f(Ax + [mm] c)\cdot A^2$.
[/mm]
Gruß
Matthias
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