Berechnung v. Wahrscheinlichk. < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:58 Fr 27.05.2005 | | Autor: | Back-Up |
Hallo,
[mm] \mu [/mm] = 3
[mm] \sigma [/mm] = 2
Ohne Werte:
[mm] P(|X-\mu| \le [/mm] c)
= [mm] \Phi (\bruch{c}{\sigma})-\Phi (-\bruch{c}{\sigma})
[/mm]
= [mm] \Phi (\bruch{c}{\sigma})-|1-\Phi (\bruch{c}{\sigma})|
[/mm]
= [mm] 2*\Phi (\bruch{c}{\sigma})-1
[/mm]
Werte eingesetzt:
P(|X-3| [mm] \le [/mm] 0,5)
= [mm] 2*\Phi (\bruch{0,5}{2})-1
[/mm]
= [mm] 2*\Phi [/mm] (0,25)-1
= 0,1974
Ich kann die Rechnung ohne Werte bereits nicht nachvollziehen. Kann da jemand Licht ins Dunkle bringen? Gleich die 1. Zeile mit dem Gleichheitszeichen ist mir unverständlich. Ist c=0,5 beliebig oder muss das 0,5 sein, wenn [mm] \mu [/mm] und [mm] \sigma [/mm] gegeben sind?
Verstanden habe ich folgende Rechnung:
P(X [mm] \le [/mm] x) = [mm] \Phi (\bruch{x-\mu}{\sigma})
[/mm]
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:08 Fr 27.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Back-Up!
Also, $c [mm] \ge [/mm] 0$ ist hier beliebig.
Ich schreibe es mal ausführlicher auf, vielleicht wird es dir ja dann klarer:
[mm] $P(|X-\mu| \le [/mm] c)$
$=P(-c [mm] \le X-\mu \le [/mm] c)$
[mm] $=P(X-\mu \le [/mm] c) - [mm] P(X-\mu [/mm] < -c)$
[mm] $=P(X-\mu \le [/mm] c) - P(X- [mm] \mu \le [/mm] -c)$ (da einzelne Punkte keine Masse haben bei der Normalverteilung)
$=P [mm] \left( \frac{X-\mu}{\sigma} \le \frac{c}{\sigma} \right) [/mm] - P [mm] \left( \frac{X-\mu}{\sigma} \le -\frac{c}{\sigma} \right)$
[/mm]
$= [mm] \Phi\left( \frac{c}{\sigma} \right) [/mm] - [mm] \Phi\left( -\frac{c}{\sigma} \right)$
[/mm]
$= [mm] \Phi\left( \frac{c}{\sigma} \right) [/mm] - [mm] \left(1 - \Phi\left(\frac{c}{\sigma} \right) \right)$
[/mm]
$=2 [mm] \Phi\left( \frac{c}{\sigma} \right) [/mm] -1$.
Ist es jetzt klarer? 
Wenn nein: Welchen Schritt verstehst du jetzt nihct?
Viele Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:24 Fr 27.05.2005 | | Autor: | Back-Up |
Es ist verständlicher . Mein eigentliches Verständnisproblem bleibt aber. Ich verstehe diesen Schritt nicht:
$=P [mm] \left( \frac{X-\mu}{\sigma} \le \frac{c}{\sigma} \right) [/mm] - P [mm] \left( \frac{X-\mu}{\sigma} \le -\frac{c}{\sigma} \right)$ [/mm]
$= [mm] \Phi\left( \frac{c}{\sigma} \right) [/mm] - [mm] \Phi\left( -\frac{c}{\sigma} \right)$
[/mm]
Warum steht nur das [mm] \bruch{c}{\sigma} [/mm] in der Klammer?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:36 Fr 27.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
> Es ist verständlicher . Mein eigentliches
> Verständnisproblem bleibt aber. Ich verstehe diesen Schritt
> nicht:
>
> [mm]=P \left( \frac{X-\mu}{\sigma} \le \frac{c}{\sigma} \right) - P \left( \frac{X-\mu}{\sigma} \le -\frac{c}{\sigma} \right)[/mm]
>
> [mm]= \Phi\left( \frac{c}{\sigma} \right) - \Phi\left( -\frac{c}{\sigma} \right)[/mm]
>
> Warum steht nur das [mm]\bruch{c}{\sigma}[/mm] in der Klammer?
Nun, es ist so: Die Zufallsvariable $X$ ist (eventuell auch nur näherungsweise, das weiß ich nicht, weil du darüber nichts aussagst) normalverteilt mit Erwartungswert [mm] $\mu$ [/mm] und Standardabweichung [mm] $\sigma$.
[/mm]
Wenn ich diese Zufallsvariable standardisiere, wenn ich also den Erwartungswert abziehe und dann das Ergebnis durch die Standardabweichung teile, dann ist die Zufallsvarible standardnormalverteilt.
Sprich:
[mm] $\tilde{X}= \frac{X-\mu}{\sigma}$
[/mm]
ist standardnormalverteilt.
Daher gilt:
[mm]=P \left( \frac{X-\mu}{\sigma} \le \frac{c}{\sigma} \right) - P \left( \frac{X-\mu}{\sigma} \le -\frac{c}{\sigma} \right)[/mm]
[mm]= P\left (\tilde{X} \le \frac{c}{\sigma} \right) - P \left( \tilde{X} \le -\frac{c}{\sigma} \right)[/mm]
[mm]= \Phi\left( \frac{c}{\sigma} \right) - \Phi\left( -\frac{c}{\sigma} \right)[/mm]
Beachte bitte: Wenn $Z$ standardnormalverteilt ist, dann gilt:
$P(Z [mm] \le [/mm] z) [mm] =\Phi(z)$.
[/mm]
Viele Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:40 Fr 27.05.2005 | | Autor: | Back-Up |
Danke! Verstanden .
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