Berechnung mit kleinem Fehler < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | f(x) = [mm] \left( \bruch{1-cos(x)}{x}\right) [/mm]
umgeformt zu -->
f(x) = [mm] \left( \bruch{sin^2(x)}{x*(1+cos(x)} \right) [/mm] |
Hallo! also habe bei meiner Aufgabe eine Formel schon umgestellt sodass sie besser konditioniert ist. jetzt weiß ich aber nicht weiter, ich soll nämlich: Berechnen sie f(10^-4) mit einem Fehler kleiner als 10^-10
Aber ich weiß nicht wie ich das mit dem Fehler machen muss?
Danke schonmal!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:53 Di 20.10.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Es ist nicht klar, was du benutzen darfst um die fkt auszuwerten? nur Polynome? oder ne Tabelle oder Programm fuer sin und cos mit ner gegebenen Genauigkeit , oder die Taylorreihen fuer sin und cos?
Gruss leduart
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halllo!
ne nur polynome, ist erst der erste übungszettel zu numerik I, deshalbw eder taylorreihe tabellen oder programme....
und noch ne frage: durch die umformung oben wird das doch für 0 < x << 1 besser konditioniert weil das minus raus ist oder ist das falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:38 Di 20.10.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich versteh die Antwort nicht.
was darfst du denn nun benutze? Wenn du kein Taylor benutzen darfst.
Im Prinzip hast du recht, dass man besser nicht mit Differenzen von Groessen rechnen soll, die beinahe gleich sind. aber hier ist ja 1 ne exakte Zahl, d.h. 1-cosx hat denselben absoluten Fehler wie cosx . und denselben relativen Fehler wie sinx. Ich seh also keinen Unterschied.
Gruss leduart
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hm das ist blöd... ja eigentlich darf ich nix benutzen ausser was aus ana/lina 1 und 2 bekannt ist. also kann ich eigentlich ja doch taylor benutzen. meinte eben nur dass ich nix benutzen darf damit, dass wir noch kein verfahren programm oder sonst was aus numerik kennen. kenne bisher nur die relative konditionszahl.
also die eigentliche aufgabe heißt: wie würde man zweckmäßigerweise die Funktion f(x) = [mm] \left( \bruch{1-cos(x)}{x}\right) [/mm] für Argumente 0 < x <<1 auswerten? Berechnen sie f(10^-4) mit einem Fehler kleiner als 10^-10
wie mach ich das denn nun? :) sry wenn ich mich dumma nstelle aber in numerik bin ich einfach noch ganz am anfang...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Do 22.10.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:49 Di 20.10.2009 | | Autor: | abakus |
> f(x) = [mm]\left( \bruch{1-cos(x)}{x}\right)[/mm]
> umgeformt zu -->
> f(x) = [mm]\left( \bruch{sin^2(x)}{x*(1+cos(x)} \right)[/mm]
> Hallo!
> also habe bei meiner Aufgabe eine Formel schon umgestellt
> sodass sie besser konditioniert ist. jetzt weiß ich aber
> nicht weiter, ich soll nämlich: Berechnen sie f(10^-4) mit
> einem Fehler kleiner als 10^-10
>
> Aber ich weiß nicht wie ich das mit dem Fehler machen
> muss?
>
> Danke schonmal!!!
Hallo,
ich weiß nicht, ob es die im konkreten Fall hilft, aber es gilt [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{\sin{x}}{x}=1.
[/mm]
In der Nähe von Null (und [mm] 10^{-4} [/mm] liegt in der Nähe) gilt [mm] \sin{x}\approx [/mm] x und [mm] \cos{x}\approx [/mm] 1.
Damit gilt [mm] f(x)\approx \bruch{x^2}{x*2}.
[/mm]
Gruß Abakus
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