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| Aufgabe | Gegeben ist der Längsschnitt eines Bierglases. Die obere Begrenzung der Fläche kann im 1. Quadranten durch Funktionen mit der Gleichung
[mm]f(x)=x*e(1-ax)[/mm] [e hoch 1-ax]
beschrieben werden.
Bestimmen Sie a so, dass die breiteste Stelle des Glases in einer Höhe von 5 cm auftritt.
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Meine Lösungsidee:
Ich setze die Ausgangsfunktion gleich 5. Dann erhalte ich eine Gleichung mit 2 Unbekannten, nämlich x und a. An x störe ich mich zunächst nicht und versuche die Gleichung nach a aufzulösen.
Dann erhalte ich:
[mm]x*e(1-ax)=5[/mm]
Jetzt habe ich das Problem, dass x sowohl im 1. Faktor als auch im 2. Faktor (und das sogar im Exponenten)
existiert.
Es bietet sich jetzt an, die Gleichung zu logarithmieren:
[mm]ln [(x*e^(1-ax)]=ln5[/mm]
Sofern dieser Schritt mathematisch richtig ist, wüsste ich nicht weiter, wie man die Gleichung nach a auflöst.
Ich würde mich über einige Tipps (ein Tipp wird möglicherweise nicht reichen) sehr freuen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:02 Mi 05.02.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
hier stand ein Irrtum. 
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:17 Mi 05.02.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
wenn du dir den Graphen der Funktion ansiehst, erkennst du, dass dieser nur dann den Querschnitt eines Bierglases darstellen kann, wenn man das Glas als liegend ansieht.
Das bedeutet, dass im x-y-Koordinatensystem x für die Höhe des Glases und y für seinen Radius steht. Das eröffnet einigen Spielraum für die Interpretation der Aufgabe.
1. Variante: "In einer Höhe von 5 cm" bedeutet, dass das Maximum der Funktion bei x=5 zu suchen ist.
[mm] (f'(5)=0\Rightarrow [/mm] a= ...)
2. Variante (die du angefangen hast) : "In einer Höhe von 5 cm" meint die Höhe des Graphen im Koordinatensystem, also y=5.
Dann musst du zusätzlich zu deinen Überlegungen berücksichtigen, dass der Graph nicht nur an irgendeiner Stelle [mm] x_1 [/mm] den y-Wert 5 annimmt, sondern dass zusätzlich dies ein Maximum der Funktion darstellt, also außerdem [mm] f'(x_1)=0 [/mm] gilt. Das liefert eine zweite Gleichung, so dass du [mm] x_1 [/mm] und a bestimmen kannst.
Der Witz an der Sache ist, dass beide Interpretationen zum selben Ergebnis führen, aber das merkt man erst hinterher.
Gruß Sax.
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