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| Aufgabe | | Berechne: [mm] \integral_{0}^{\infty}{ \bruch{1}{t^{4}+t^{2}+1} dt} [/mm] |
Hallo,
hierbei handelt es sich beim Integrand um eine rationale Funktion in einer Variablen t.
Ich weiß nicht genau, wie ich bei der Berechnung des Integrals vorgehen soll. Ich habe versucht, die Nullstellen des Nenners zu finden, komme aber da nicht weiter. Es muss sich hier um komplexe Nullstellen handeln.
Dann habe ich versucht, die Partialbruchzerlegung anzuwenden, um den Nenner in Faktoren zu zerlegen, geht aber auch nicht so einfach...
Bestimmt hat die Aufgabe etwas mit dem Residuensatz zu tun, den wir gerade behandeln,aber wie ich den genau anwenden soll, weiß ich nicht. Der Stoff ist auch nicht ziemlich neu...
Kann mir jemand weiterhelfen?
Vielen Dank,
milka
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Warum substituierst du für die Nullstellen nicht erstmal [mm] $t^2 \to [/mm] s$? Das gibt dir nen quadratischen Term [mm] $s^2+s+1=0$ [/mm] und mittels PQ-Formel $s= [mm] -\bruch{1}{2}\pm \wurzel{-\bruch{3}{4}}=-\bruch{1}{2}\pm i\wurzel{\bruch{3}{4}}$
[/mm]
Hieraus müßtest du jetzt noch die Wurzel ziehen, und dann hast du die insgesamt 4 Nullstellen.
Der Residuensatz berechnet ja das Wegintegral entlang der x-Achse und einen Halbkreis im positiven imaginären Bereich.
Weil der Nennergrad mehr als 2 größer als der Zählergrad ist, strebt das Integral über den Kreisbogen gegen 0, und das gesamte Integral besteht nur noch aus der reellen Achse. Das Ergebnis mußt du noch halbieren, weil du ja 0<t<oo als Integrationsgebiet hast, nicht -oo<t<oo
Kommst du mit dem Residuensatz selbst denn nun klar?
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Hallo,
danke für deine Antwort. Leider hab ich nicht alles verstanden. Wie kommst du auf 4 Nullstellen?
> Warum substituierst du für die Nullstellen nicht erstmal
> [mm]t^2 \to s[/mm]? Das gibt dir nen quadratischen Term [mm]s^2+s+1=0[/mm]
> und mittels PQ-Formel [mm]s= -\bruch{1}{2}\pm \wurzel{-\bruch{3}{4}}=-\bruch{1}{2}\pm i\wurzel{\bruch{3}{4}}[/mm]
>
> Hieraus müßtest du jetzt noch die Wurzel ziehen, und dann
> hast du die insgesamt 4 Nullstellen.
Ich erhalte, nachdem ich die Wurzel gezogen habe, nur 2 Nullstellen, nämlich: [mm] s_{1}= -\bruch{1}{2}+ \bruch{i}{2}\wurzel{3} [/mm] und [mm] s_{2}= -\bruch{1}{2}- \bruch{i}{2}\wurzel{3}
[/mm]
> Der Residuensatz berechnet ja das Wegintegral entlang der
> x-Achse und einen Halbkreis im positiven imaginären
> Bereich.
>
> Weil der Nennergrad mehr als 2 größer als der Zählergrad
> ist, strebt das Integral über den Kreisbogen gegen 0, und
> das gesamte Integral besteht nur noch aus der reellen
> Achse. Das Ergebnis mußt du noch halbieren, weil du ja
> 0<t<oo als Integrationsgebiet hast, nicht -oo<t<oo
>
>
> Kommst du mit dem Residuensatz selbst denn nun klar?
So wie es jetzt verstanden habe, muss ich das gegebene Integral jetzt zerlegen in:
[mm] \integral_{[0,r]+\lambda_{r}}^{}{ \bruch{1}{s^{2}+s+1 }ds}, [/mm] das kann ich jetzt in 2 Teilintegrale aufspalten:
[mm] \integral_{0}^{r}{ \bruch{1}{s^{2}+s+1 }ds}+\integral_{\lambda_{r}}^{}{ \bruch{1}{s^{2}+s+1 }ds}, [/mm] wobei [mm] \lambda_{r} [/mm] die Parametrisierung des Halbkreises im pos. imag. Bereich ist. Stimmt das so?
In der Vorl. hatten wir so ein ähnliches Beispiel. Da haben wir auch die obere Hälfte von [mm] \partial B_{r}(0) [/mm] parametriert, und dann gesagt, dass
[mm] \limes_{r\rightarrow\infty} \integral_{\lambda_{r}}^{}{f(s) ds} [/mm] = 0 ist ( was du ja gesagt, dass das Integral über dem Kreisbogen gegen 0 strebt  ), und dann gilt:
[mm] \limes_{r\rightarrow\infty}\integral_{-r}^{r}{f(t) dt} [/mm] = [mm] 2i\pi \summe_{a \in H}^{} Res_{a}f, [/mm] wobei H die obere Halbebene ist.
In meinem Fall muss ich [mm] \bruch{1}{2}\limes_{r\rightarrow\infty}\integral_{-r}^{r}{f(t) dt} [/mm] = [mm] i\pi \summe_{a \in H}^{} Res_{a}f, [/mm] weil 0<t< [mm] \infty [/mm] ist. Bin ich da richtig, oder nicht?
Kannst du mir bitte sagen, wie ich jetzt genau das Integral ausrechne? Muss ich das ursprüngl Integral nehmen, oder die substituierte Version?
Wie bestimme ich jetzt von dem gegebenen Integranden das Residuum? Das Residuum ist ja der Koeffizient an der Stelle n= -1. Dazu brauch ich doch eine Reihe? Wie komm ich auf die?
Danke, milka
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Also, die Substitution habe ich gemacht, um die Nullstellen einfacher bestimmen zu können. Du rechnest mit t weiter!
Und ich habe [mm] $t^2=s$ [/mm] substituiert. Wenn s=5 eine Lösung ist, ist die Lösung für t natürlich [mm] $t=+\wurzel{5}; [/mm] \ [mm] t=-\wurzel{5}$, [/mm] macht also bei 2 Lösungen für s genau 4 Lösungen für t. Einige Lösungen können natürlich auch z.B. doppelt vorkommen.
Was du zu dem Residuensatz sagst, ist vollkommen korrekt so. Der Kreisbogen fällt wegen dem Potenzgrad weg, und das übrige ist das doppelte von dem, was du jetzt willst.
Das Integral interessiert dich nicht mehr weiter. Du brauchst nun die Residuen Da du dich nur um die obere Halbebene kümmerst, brauchst du auch nur die Nullstellen zu behandeln, die im oberen Bereich liegen, also mit positivem Imaginärteil!
Nun berechnest du die Residuen.
Nimm dir eine Nullstelle. Welcher Ordnung ist sie, d.h. kommt sie nur einmal vor, oder öfter? Diese Zahl ist n.
[mm] $RES(f,t_0)=\bruch{d^{n-1}}{dt^{n-1}}(t-t_0)^n*f(t_0)$
[/mm]
Also: Wenn du den Nenner der Funktion durch die Linearfaktorzerlegung darstellst, lasse die Terme weg, die zu deiner Nullstelle gehören. Dann leitest du die Funktion ab, und zwar einmal weniger, als die Nullstelle vorkommt. Bei einfachen Nullstellen leitest du also garnicht ab.
Dann setzt du die Nullstelle sein, das gibt dir jetzt einen Funktionswert. DAS ist das Residuum.
Dieses Residuum berechnest du für alle Nullstellen im positiven imaginären Bereich einzeln, addierst die Residuen, dann noch den Faktor aus deinem Beitrag vornedran, UND DAS IST DER WERT DES INTEGRALS!
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Hallo,
danke nochmals für deine ausführliche Erklärung.
Ich betrachte also nur die die beiden Nullstellen [mm] t_{1} [/mm] = [mm] \wurzel{-\bruch{1}{2}+\bruch{i}{2}\wurzel{3}} [/mm] und [mm] t_{2} [/mm] = [mm] -\wurzel{-\bruch{1}{2}+\bruch{i}{2}\wurzel{3}}, [/mm] also die, die postiven Imaginärteil haben. Diese beiden Nullstellen haben doch jeweils die Ordnung 1, d.h. sie kommen doch jeweils nur einmal vor,also einfache Vielfachheit. Ich muss also gar nicht ableiten, oder?
Allerdings versteh ich diese Formel nicht, die du da angegeben hast:
$ [mm] RES(f,t_0)=\bruch{d^{n-1}}{dt^{n-1}}(t-t_0)^n\cdot{}f(t_0) [/mm] $
"Also: Wenn du den Nenner der Funktion durch die Linearfaktorzerlegung darstellst, lasse die Terme weg, die zu deiner Nullstelle gehören. Dann leitest du die Funktion ab, und zwar einmal weniger, als die Nullstelle vorkommt. Bei einfachen Nullstellen leitest du also garnicht ab."
Das Residuum muss ich also für diese beiden Nullstellen ausrechnen, und dann addieren, und mit [mm] 2i\pi [/mm] multiplizieren.
Danke, milka
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Ich habe in der Zwischenzeit mal versucht, die Aufgabe ohne diese mir unbekannte Formel weiterzumachen. Wie schon oben erwähnt, behaupte ich, dass die Nullstellen einfache Ordnung haben.
Dann habe ich folgendes gemacht:
[mm] \limes_{r\rightarrow\infty} \integral_{0}^{r}{ \bruch{1}{t^{4}+t^{2}+1} dt} [/mm] = [mm] 4i\pi Res_{t_{1}}(\bruch{1}{z^{4}+z^{2}+1} )+4i\pi Res_{t_{2}}(\bruch{1}{z^{4}+z^{2}+1})
[/mm]
Es gilt die Rechenregel: [mm] Res_{a}(f) [/mm] = [mm] \bruch{g^{(m-1}(a)}{(m-1)!}, [/mm] wenn f in a einen Pol m-ter Ordnung hat, etwa f(z) = [mm] \bruch{g(z)}{(z-a)^{m}} [/mm] uma, g(a) [mm] \not= [/mm] 0, g holomorph.
Wie finde ich jetzt dieses g?
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OOps, erstmal muß ich mich entschuldigen, in meiner Formel fehlt der Fakultätsterm.
Erstmal: Ich finde folgende Nullstellen des nenners (bzw das behauptet mein PC):
[mm] $\pm \bruch{1}{2} \pm [/mm] i [mm] \bruch{\wurzel{3}}{2}$
[/mm]
Diese vier Nullstellen sind in der Tat erster Ordnung. Uns interressiert nur [mm] $\pm \bruch{1}{2} [/mm] + i [mm] \bruch{\wurzel{3}}{2}$
[/mm]
Man kann den Integranden nun so schreiben:
[mm] \bruch{1}{(t-a_1)(t-a_2)(t-a_3)(t-a_4)} [/mm] wobei die [mm] a_i [/mm] die Nullstellen bzw eigentlich Polstellen sind.
Um das Residuum von [mm] a_1 [/mm] nun zu berechnen, wird die Funktion nun erstmal mit [mm] $(t-a_1)$ [/mm] multipliziert. Ist das eine Nullstelle höherer Ordnung, macht man das eben mehrmals, sodaß diese Nullstelle des Nenners dann weg ist. Die Funktion hat an der Stelle nun keinen Pol mehr, und ist dort definiert!
Du hast jetzt:
[mm] $\bruch{1}{(t-a_2)(t-a_3)(t-a_4)}$ [/mm] Das ist übrigens dein g
Wäre das jetzt eine Nullstelle höherer Ordnung m gewesen, müßtest du diesen Term nun ableiten (-> [mm] $g^{(m-1)}$) [/mm] und durch den Fakultätsterm (m-1)! teilen, aber bei erster ordnung eben nicht.
Setze nun einfach die Nullstelle [mm] a_1 [/mm] für t ein, das geht ja jetzt:
[mm] $\bruch{1}{(a_1-a_2)(a_1-a_3)(a_1-a_4)}$
[/mm]
DAS ist das Residuum für [mm] a_1.
[/mm]
Genauso berechnest du das Residuum für die zweite "oben liegende" Nullstelle.
Addiere die beiden Residuen, und multipliziere noch mit [mm] $4\pi [/mm] i$. Das ist dann der Wert des Integrals.
Ist es nun klarer geworden?
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Hallo,
also ich habe nicht diese Nullstellen rausbekommen. Das kann doch auch nicht stimmen, denn in deiner allerersten Antwort hast du geschrieben: Die Nullstellen von [mm] s^{2}+s+1=0 [/mm] sind [mm] s_{1,2}= -\bruch{1}{2} \pm i\wurzel{\bruch{3}{4}} [/mm] also:
[mm] s_{1}= -\bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{i}{2}\wurzel{3} [/mm] und
[mm] s_{2}= -\bruch{1}{2} [/mm] - [mm] \bruch{i}{2}\wurzel{3}
[/mm]
Da ich man nun eine Substitution von [mm] t^{2}= [/mm] s gemacht hat, muss man, wenn man die Nullstellen als t bezeichnen will(Resubstitution), doch jeweils aus diesen [mm] s_{1,2} [/mm] die Wurzel ziehen, also erhalte ich:
[mm] t_{1} [/mm] = [mm] \pm \wurzel{s_{1}} [/mm] und
[mm] t_{2} [/mm] = [mm] \pm \wurzel{s_{2}}
[/mm]
Dein PC hat scheinbar die Wurzel vergessen... Oder leig ich da falsch?
G>ruß, milka
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Ich hab meinem PC eigentlich die originalformel gegeben.
Schaun wir mal:
[mm] $t^2=\left( \bruch{1}{2}+ i \bruch{\wurzel{3}}{2} \right)^2=\bruch{1}{4}+2*i\left( \bruch{1}{2} \bruch{\wurzel{3}}{2} \right)- \bruch{3}{4}=-\bruch{1}{2}+i \bruch{\wurzel{3}}{2}=s$
[/mm]
In der Tat bleiben die einzelnen Zahlen gleich, nur bei den Vorzeichen tut sich was.
Du mußt deine Wurzel auch ausrechnen!
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Hallo,
ich habe jetzt auch dieselben Nullstellen bzw. Polstellen, nämlich:
[mm] a_{1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{i}{2}\wurzel{3}
[/mm]
[mm] a_{2} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{i}{2}\wurzel{3}
[/mm]
und für die später benötigte Berechnung die beiden anderen:
[mm] a_{3} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] - [mm] \bruch{i}{2}\wurzel{3}
[/mm]
[mm] a_{4} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] - [mm] \bruch{i}{2}\wurzel{3}
[/mm]
Jetzt habe ich einmal das Res für [mm] a_{1}, [/mm] und dann das Res für [mm] a_{2} [/mm] ausgerechnet:
für [mm] a_{1}: \bruch{1}{(a_{1}-a_{2})(a_{1}-a_{3})(a_{1}-a_{4})}=... [/mm] einsetzen und ausrechnen...= [mm] \bruch{1}{i\wurzel{3}-3} [/mm]
und analog für [mm] a_{2}: \bruch{1}{(a_{2}-a_{1})(a_{2}-a_{3})(a_{2}-a_{4})}=...= \bruch{1}{i\wurzel{3}+3}
[/mm]
Also addiere ich beides: [mm] \bruch{1}{i\wurzel{3}-3} [/mm] + [mm] \bruch{1}{i\wurzel{3}+3} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{6}i\wurzel{3}
[/mm]
Dann mit [mm] 4i\pi [/mm] malnehmen: [mm] 4i\pi (-\bruch{1}{6}i\wurzel{3}) [/mm] = [mm] \bruch{2\pi}{\wurzel{3}} [/mm]
Stimmt das jetzt?
Danke! milka
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Fast.
Du hast oben irgendwo mit [mm] $4\pi [/mm] i$ angefangen... Ich hatte oben noch [mm] $2\pi [/mm] i$ stehen. Habs dann weiter von dir übernommen.
Du mußt mit [mm] $2\pi [/mm] i$ statt [mm] $4\pi [/mm] i$ multiplizieren, dann stimmt das Ergebnis auch!
Und vergiß nicht, das ist das Integral über die gesamte t-Achse, du brauchst ja nur die Hälfte, ab t=0!
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Hallo,
na das war ja echt ne schwere Geburt... Mit [mm] 2i\pi [/mm] malgenommen, ergibt: [mm] \bruch{1}{3}\pi\wurzel{3}, [/mm] dann noch die Hälfte davon ergibt: [mm] \bruch{1}{6}\pi\wurzel{3}
[/mm]
Fertig.
Danke!!!
Milka
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Weißt du, wie das mit den Residuen funktioniert, weiß ich. Allerdings, wenn ich rechne, sind bei mir 80% falsch...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:11 Sa 15.07.2006 | | Autor: | Milka_Kuh |
Hallo,
dann poste doch bitte mal deine Lösung, damit ich auch sehen kann, was du hast und dadurch ein besserer Vergleich stattfinden kann... Wenn du das so hinknallst, wer weiß, was wir unterschiedlich haben.
Gruß, milka
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Keine Sorge, was du gerechnet hast, ist schon korrekt so.
Ich habe ehrlich gesagt zur Überprüfung einfach meinen Computer benutzt, dann schleichen sich zumindest keine Rechenfehler ein.
Ich meine halt nur, als ich mich mit Residuen beschäftigt habe, und das auch alles zu Fuß ausgerechnet habe, habe ich meistens ganz was anderes raus bekommen, als was mein PC mir als Lösung angab.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Do 20.07.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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