Berechnung einer inversen Matr < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:52 So 28.10.2007 | | Autor: | rala |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Inverse für folgende Matrix:
a) A= 0 2 1 b) A= 2 4
3 2 0 1 7
0 4 0 0 3 |
Also bei a bin ich bis 0 2 1 1 0 0 gekommen.
3 2 0 0 1 0
0 4 0 0 0 1
Nun muss man ja das Gauß-Verfahren anwenden, doch ich komm da auf kein ergebnis. Kann mir jmd die Aufgabe mit Hilfe dieses Verfahren lösen und erklären, wie er auf die einzelnen Schritte gekommen ist?
Ich hoffe ihr könnt das lesen, bei a soll in der 1.zeile 021, in der 2.320 und in der dritten 040 stehen!!!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Jetzt wie beim Auflösen eines Gleischungssystems weitermachen und in der Matrix Rechts die gleichen Schritte anwenden:
[mm] $\pmat{0&2&1&|&1&0&0 \\ 3&2&0&|&0&1&0 \\ 0&4&0&|&0&0&1}$
[/mm]
1) Die Zeilen vertauschen, sodass die erste Spalte der ersten Zeile nicht 0 ist.
Ausserdem nehme ich die Dritte Zeile an die Zweite Stelle, da sie schon eine Null in der dritten Spalte hat.
Ich versuche links die Einheitsmatix zu schreiben. Im ersten Schritt lege ich mir schon mal die Nullen an einen passenden Platz
[mm] $\pmat{3&2&0&|&0&1&0 \\ 0&4&0&|&0&0&1 \\ 0&2&1&|&1&0&0}$
[/mm]
2) Auf der Diagonalen Einsen machen:
Erste Zeile durch 3, zweite Zeile durch 4 Teilen
[mm] $\pmat{1&2/3&0&|&0&1/3&0 \\ 0&1&0&|&0&0&1/4 \\ 0&2&1&|&1&0&0}$
[/mm]
Jetzt muss noch aufgeräumt werden. Zuerst unter der Diagonalen...
3) die zweite Zeile zwei mal von der Dritten abziehen
[mm] $\pmat{1&2/3&0&|&0&1/3&0 \\ 0&1&0&|&0&0&1/4 \\ 0&2-2*1&1&|&1&0&0-2*1/4}$
[/mm]
[mm] $\pmat{1&2/3&0&|&0&1/3&0 \\ 0&1&0&|&0&0&1/4 \\ 0&0&1&|&1&0&-1/2}$
[/mm]
... dann über der Diagonalen.
4) die zweite Zeile 2/3 mal von der ersten abziehen
[mm] $\pmat{1&2/3-2/3&0&|&0&1/3&-2/3*1/4 \\ 0&1&0&|&0&0&1/4 \\ 0&0&1&|&1&0&-1/2}$
[/mm]
[mm] $\pmat{1&0&0&|&0&1/3&-1/6 \\ 0&1&0&|&0&0&1/4 \\ 0&0&1&|&1&0&-1/2}$
[/mm]
5) Kontrollrechnung
[mm] $\pmat{0&1/3&-1/6 \\ 0&0&1/4 \\ 1&0&-1/2}\pmat{0&2&1 \\ 3&2&0 \\ 0&4&0}=\pmat{1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1}$
[/mm]
Hinweis: Schritt 2 und 3 habe ich hier etwas abkürzen können, da die Matrix ein paar Nullen hatte.
Im Allgemeinen müsste man weniger rechnen, wenn man immer nur ein Diagonalenelement aufs mal auf 1 bringt und dann darunter die ganze Spalte auf null bringt. In diesem Beispiel war aber die erste Spalte bereits "aufgeräumt".
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:30 So 28.10.2007 | | Autor: | rala |
Vielen dank :) ich hab gar nich gewusst dass ich die zeilen einfach so vertauschen darf!!!
wie sieht es denn mit der anderen Aufgabe aus?Kann man eigentlich von jeder Matrix eine inverse bilden?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:43 So 28.10.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
> Kann man eigentlich von jeder Matrix eine inverse bilden?
Die Matrix muss eine [mm] n\times{n}-Matrix [/mm] sein und sie muss vollen Rang haben. Dann besitzt diese Matrix eine Inverse.
MfG barsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:51 So 28.10.2007 | | Autor: | rala |
also kann man von
A: 2 4
1 7
0 3
keine Inverse bilden oder versteh ich das jetzt völlig falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:05 So 28.10.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
> also kann man von
> keine Inverse bilden oder versteh ich das jetzt völlig
> falsch?
du siehst das völlig richtig.
Für [mm] A=\pmat{ 2 & 4 \\ 1 & 7 \\ 0 & 3 } [/mm] gilt:
[mm] A\not\in\IR^{nxn} [/mm] und damit ist A auch nicht invertierbar.
MfG barsch
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