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| Aufgabe | Rotiert ein Funktionsgraph über [a;b] um die x-Achse, so entsteht ein Rotationskörper, dessen Volumen V sich mit der Formel
berechnen lässt[mm]V= \pi* \int_{a}^{b}{(f(x))^2 dx}[/mm] a= 0 b=11 Die Funktion f lautet: [mm]f(x)=xe^(1-0.2x)[/mm]
Der Eichstrich für 0,5 Liter soll eingetragen werden. Bestimmen Sie, wie viel Millimeter unter dem Rand der Eichstrich eingetragen werden soll. |
Mein Lösungsansatz lautet:
[mm]0.5= \pi* \int_{0}^{b}{(f(x))^2 dx}[/mm] Die Gleichung ist also nach b aufzulösen.
Wenn der Ansatz richtig ist, ergibt sich ein Lösungsweg von 2 eng beschriebenen Seiten, den ich allerdings nicht bis zuletzt berechnen kann. Zu einer Lösung b < 11 komme ich nicht.
Ich wäre schon zufrieden, wenn
- Sie mir Ihre Meinung zu meinem Ansatz mitteilen würden
- Sie mir eine Alternative nennen würden.
im Voraus herzlichen Dank und einen freundlichen Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:54 Fr 07.02.2014 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Rotiert ein Funktionsgraph über [a;b] um die x-Achse, so
> entsteht ein Rotationskörper, dessen Volumen V sich mit
> der Formel
>
>
> berechnen lässt[mm]V= \pi* \int_{a}^{b}{(f(x))^2 dx}[/mm]
Das ist in der Tat die übliche Formel für das Rotationsvolumen des Körpers, der entsteht, wenn die Funktiion f auf dem Intervall [a;b] um die x-Achse rotiert.
> a= 0
> b=11 Die Funktion f lautet: [mm]f(x)=xe^(1-0.2x)[/mm]
>
> Der Eichstrich für 0,5 Liter soll eingetragen werden.
> Bestimmen Sie, wie viel Millimeter unter dem Rand der
> Eichstrich eingetragen werden soll.
>
> Mein Lösungsansatz lautet:
>
> [mm]0.5= \pi* \int_{0}^{b}{(f(x))^2 dx}[/mm] Die Gleichung ist
> also nach b aufzulösen.
Das ist auch korrekt.
Du bekommst also:
[mm] V=\pi\cdot\int\limits_{0}^{b}\left(x\cdot e^{1-0,2x}\right)^{2}dx
[/mm]
[mm] =\pi\cdot\int\limits_{0}^{b}x^{2}\cdot\left(e^{1-0,2x}\right)^{2}dx
[/mm]
[mm] =\pi\cdot\int\limits_{0}^{b}x^{2}\cdot e^{(1-0,2x)\cdot2}dx
[/mm]
[mm] =\pi\cdot\int\limits_{0}^{b}x^{2}\cdot e^{2-0,4x}dx
[/mm]
Das würde ich mit zweifacher partieller Integration lösen.
[mm] \int\underbrace{x^{2}}_{u}\cdot\underbrace{e^{2-0,4x}}_{v'}dx
[/mm]
[mm] =\underbrace{x^{2}}_{u}\cdot\underbrace{\frac{1}{-0,4}e^{2-0,4x}}_{v}-\int\underbrace{2x}_{u'}\cdot\underbrace{\frac{1}{-0,4}e^{2-0,4x}}_{v}dx
[/mm]
[mm] =-\frac{5}{2}\cdot x^{2}e^{2-0,4x}-\int-5x\cdot e^{2-0,4x}dx
[/mm]
[mm] =-\frac{5}{2}\cdot x^{2}e^{2-0,4x}+5\cdot\int x\cdot e^{2-0,4x}dx
[/mm]
Das Integral [mm] \int x\cdot e^{2-0,4x}dx [/mm] kannst du nun wieder per partieller Integration lösen
[mm] \int\underbrace{x}_{u}\cdot\underbrace{e^{2-0,4x}}_{v'}dx=\ldots
[/mm]
Damit bestimme zuerst mal die Stammfunktion zu deiner Funktion [mm] g(x):=x^{2}\cdot e^{2-0,4x}
[/mm]
>
> Wenn der Ansatz richtig ist, ergibt sich ein Lösungsweg
> von 2 eng beschriebenen Seiten, den ich allerdings nicht
> bis zuletzt berechnen kann. Zu einer Lösung b < 11 komme
> ich nicht.
>
> Ich wäre schon zufrieden, wenn
> - Sie mir Ihre Meinung zu meinem Ansatz mitteilen würden
> - Sie mir eine Alternative nennen würden.
>
> im Voraus herzlichen Dank und einen freundlichen Gruß
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:28 Fr 07.02.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Marius,
> [mm]\int\underbrace{x}_{u}\cdot\underbrace{e^{2-0,4x}}_{v'}dx=\ldots[/mm]
>
> Damit bestimme zuerst mal die Stammfunktion zu deiner
> Funktion [mm]g(x):=x^{2}\cdot e^{2-0,4x}[/mm]
bitte nie von DER Stammfunktion reden: EINE!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:17 Fr 07.02.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo wolfgangmax,
du hast in letzter Zeit einige Fragen zum gleichen Funktionstyp gestellt. Mir sieht das nach Abi-Aufgaben aus irgendeinem deutschen Bundesland aus. Von uns hier (Baden-Württemberg) kenne ich diesen Aufgabentyp aus dem sog. Wahlteil, in dem als Hilfsmittel moderne grafikfähige Taschenrechner zugelassen sind, die unter anderem numerische Berechnungen mit Integralfunktionen durchführen können. Ich bin mir relativ sicher, dass dies im vorliegenden Fall auch so angedacht ist. Man kann das hier analytisch auf dem von M.Rex skizzierten Weg lösen, aber je nachdem, wofür du die Antwort hier benötigst, wollte ich auf diese Problematik zur Info einfach hinweisen.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:23 Fr 07.02.2014 | | Autor: | fred97 |
Ergänzend zu Diophant und M.Rex:
Die Gleichung
$ 0.5= [mm] \pi\cdot{} \int_{0}^{b}{(f(x))^2 dx} [/mm] $
führt (mit dem Weg von M.Rex) auf eine Gleichung, die sich nicht "von Hand" nach b auflösen lässt.
FRED
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Allen. die sich mit meinem Problem rumgeschlagen haben, herzlichen Dank! Ihr seid Super
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