Berechnung einer Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:18 Mo 25.06.2007 | | Autor: | Kalex |
| Aufgabe | Die Elemente einer Folge lauten: 6;36;216...
* Um was für eine Folge handelt es sich?
* Nennen Sie die Merkmale der Folge!
* Bestimmen Sie das 12. Glied der Folge!
* Wie heißen die Grenzwerte der Folge? |
Hallo,
ich habe einigermaßen große Probleme beim Lösen dieser Aufgabe und hoffe Jemand hat Mühe und Zeit ein wenig detailliert deren Lösungsweg zu erklären.
Meine bisherigen Lösungsansätze bestehen leider nur aus Formeln, von denen ich aber nicht bestimmen kann, was ich wie einsetzen muss:
Arithmetische Formeln:
[mm]d= a_n_+_1 - a_n[/mm] und [mm]a_n = a_1 + (n-1) * d[/mm]
Geometrische Formeln:
[mm]q=\bruch{q_n+1}{a_n}[/mm] und [mm]a_n = a_1 * q^n^-^1[/mm]
Wie gesagt, weiß ich nicht wie ich die drei Werte der Formel hier einzusetzen habe.
Ich bedanke mich im vorraus.
_________________________
* Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Die Elemente einer Folge lauten: 6;36;216...
> * Um was für eine Folge handelt es sich?
> * Nennen Sie die Merkmale der Folge!
> * Bestimmen Sie das 12. Glied der Folge!
> * Wie heißen die Grenzwerte der Folge?
> Arithmetische Formeln:
> [mm]d= a_n_+_1 - a_n[/mm] und [mm]a_n = a_1 + (n-1) * d[/mm]
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Bei arithmetischen Folgen unterscheiden sich zwei aufeinanderfolgende Folgengliede immer um denselben Wert. das ist die Aussage von
> d= [mm] a_n_+_1 [/mm] - [mm] a_n [/mm]
Man kann sich überlegen, daß man die Folgenglieder so erhält:
[mm] a_2=a_1+d
[/mm]
[mm] a_3=a_2+d=( a_1+d)+d=a_1+2*d
[/mm]
[mm] a_4=a_3+d=( a_1+2*d)+d=a_1+3*d
[/mm]
...
> [mm] a_n [/mm] = [mm] a_1 [/mm] + (n-1) * d
Ob Deine Folge eine arithmetische ist, findest Du heraus, wenn Du jeweils die Differenz der aufeinanderfolgenden Glieder anschaust.
>
> Geometrische Formeln:
> [mm]q=\bruch{a_n-+1}{a_n}[/mm] und [mm]a_n = a_1 * q^n^-^1[/mm]
Bei der geometrischen Folge ist der Quotient zweier aufeinanderfolgender Folgenglieder konstant. das sagt
> [mm] q=\bruch{a_n_+_1}{a_n}
[/mm]
Man kann sich überlegen, daß man die Folgenglieder einer solchen Folge so erhält:
[mm] a_2=a_1*q
[/mm]
[mm] a_3=a_2*q=(a_1*q)*q=a_1q^2
[/mm]
[mm] a_4=a_3*q=(a_1*q^2)*q=a_1q^3
[/mm]
...
[mm] a_n=a_{n-1}*q=(a_1*q^{n-2})*q=a_1q^{n-1}
[/mm]
Ob Deine Folge solch eione Folge ist, findest Du heraus, indem Du jeweils den Quotienten der direkt aufeinander folgenden Folgenglieder bildest.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:29 Mo 25.06.2007 | | Autor: | Kalex |
| Aufgabe | > Die Elemente einer Folge lauten: 6;36;216...
> * Um was für eine Folge handelt es sich?
> * Nennen Sie die Merkmale der Folge!
> * Bestimmen Sie das 12. Glied der Folge!
> * Wie heißen die Grenzwerte der Folge? |
Danke, nun sehe ich, dass es sich um eine Geometrische Folge handelt, bin mir aber noch nicht sicher wie ich richtig einsetzen muss.
Im Bezug zur Aufgabe mein Versuch:
[mm]a_n = a_1*q^n^-^1[/mm]
->
[mm]a_12 = a_1 + q^1^2^-^1[/mm]
Welchen Wert muss ich für q einsetzen?
Und wie bestimme ich den Grenzwert, bzw. was ist ein Grenzwert?
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> > Die Elemente einer Folge lauten: 6;36;216...
> > * Um was für eine Folge handelt es sich?
> > * Nennen Sie die Merkmale der Folge!
> > * Bestimmen Sie das 12. Glied der Folge!
> > * Wie heißen die Grenzwerte der Folge?
> Im Bezug zur Aufgabe mein Versuch:
> [mm]a_n = a_1*q^n^-^1[/mm]
> ->
> [mm]a_{12} = a_1 + q^{12-1}[/mm]
>
Hallo,
da Du inzwischen erkannt hast, daß es sich um eine geometrische Folge handelt, dürftest Du ja auch den (konstanten) Quotienten [mm] q=\bruch{a_{n+1}}{a_n} [/mm] kennen.
>
> Welchen Wert muss ich für q einsetzen?
Diesen mußt Du einsetzen.
> Und wie bestimme ich den Grenzwert, bzw. was ist ein
> Grenzwert?
Die Antwort fällt mir nicht ganz leicht.
Nicht, daß ich es nicht wüßte, aber ich weiß nicht, welche Kenntnisse Du bereits hast, und auf welchem Niveau Du Mathematik betreibst.
Deshalb mal ganz vorsichtig:
Grenzwert: was passiert mit [mm] a_n, [/mm] wenn n "sehr groß" wird (gegen [mm] \infty [/mm] strebt)?
Gruß v. Angela
P.S.: Ich kann Deinem Post nicht entnehmen, wie Du herausgefunden hast, daß es eine geometrische Reihe ist. Nur als Warnung und weil ich nicht weiß, was Du weißt: wenn eine Reihe nicht arithmetisch ist, so ist sie noch lange nicht automatisch geometrisch; es gibt viele verschiedene Reihen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:31 Di 26.06.2007 | | Autor: | Kalex |
| Aufgabe | > Die Elemente einer Folge lauten: 6;36;216...
> * Um was für eine Folge handelt es sich?
> * Nennen Sie die Merkmale der Folge!
> * Bestimmen Sie das 12. Glied der Folge!
> * Wie heißen die Grenzwerte der Folge? |
Nun bin ich etwas verwirrt, was die Formel [mm]q=\bruch{a_n+1}{a_n}[/mm] angeht. [mm]a_n[/mm], also in meinem Fall [mm]a_1_2[/mm] muss mir doch zum Berechnen von q bekannt sein.
Jedoch muss mir q bekannt sein um [mm]a_1_2[/mm] berechnen zu können.
Oder habe ich hier einen Fehler in meiner Denkweise?
> P.S.: Ich kann Deinem Post nicht entnehmen, wie Du
> herausgefunden hast, daß es eine geometrische Reihe ist.
> Nur als Warnung und weil ich nicht weiß, was Du weißt: wenn
> eine Reihe nicht arithmetisch ist, so ist sie noch lange
> nicht automatisch geometrisch; es gibt viele verschiedene
> Reihen.
Das hast du richtig vermutet, ich ging davon aus, da es eindeutig keine arithmetische Folge ist, muss es eine geometrische Folge sein.
> Deshalb mal ganz vorsichtig:
> Grenzwert: was passiert mit $ [mm] a_n, [/mm] $ wenn n "sehr groß" wird (gegen $ [mm] \infty [/mm] $ strebt)?
Ich weiß es nicht genau, aber ich glaube mich erinnern zu könne, dass eine sog. "Einpegelung" sich einstellt. Also dass der Wert mit einer gewissen Anzahl an Nachkommastellen sich einer natürlichen Zahl annähert.
Ich denke dies kann ich später selbst schlussfolgern, sobald ich q zu errechnen verstehe.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:42 Di 26.06.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
eine geometrische Folge ist eine Folge, bei der [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_{n}} [/mm] konstant ist. Diese Zahl ist, falls es sich um eine geometrische Folge handelt, dein q.
Du hast gegeben: 6;36;206
Also:
[mm] a_{1}=6
[/mm]
[mm] a_{2}=36
[/mm]
[mm] a_{3}=206
[/mm]
Betrachte [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_{n}}.
[/mm]
Für n=1 hat man: 36/6=6
Für n=2 hat man:206/36=6
Also da immer 6 rauskommt handelt es sich um eine geometrische Folge mit q=6.
Jetzt kannst du q in diene Formeln einsetzten und weiter rechnen.
Zum Grenzwert: Wenn du [mm] a_{n} [/mm] für großes n ausrechnest, was passiert dann, wenn du n immer größer werden lässt?
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:25 Di 26.06.2007 | | Autor: | Kalex |
| Aufgabe | > Die Elemente einer Folge lauten: 6;36;216...
> * Um was für eine Folge handelt es sich?
> * Nennen Sie die Merkmale der Folge!
> * Bestimmen Sie das 12. Glied der Folge!
> * Wie heißen die Grenzwerte der Folge? |
> Betrachte [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}.[/mm]
> Für n=1 hat man: 36/6=6
> Für n=2 hat man:206/36=6
> Also da immer 6 rauskommt handelt es sich um eine
> geometrische Folge mit q=6.
>
> Jetzt kannst du q in diene Formeln einsetzten und weiter
> rechnen.
>
Ich setze nun also ein:
[mm]a_1_2 = a_1 * q^1^2^-^1[/mm]
bzw.
[mm]a_1_2 = 6 * 6^1^2^-^1[/mm]
bzw.
[mm]a_1_2 = 6 * 6^1^1[/mm]
So komme ich auf [mm]a_1_2 = 2.176.782.336[/mm]
Grob überschlagen, würde ich sagen der Wert stimmt. (?)
> Zum Grenzwert: Wenn du [mm]a_{n}[/mm] für großes n ausrechnest, was
> passiert dann, wenn du n immer größer werden lässt?
>
Der Wert steigt entsprechend ins unendliche, also gibt es keine Grenzwerte. (?)
Falls ich nun keine Fehler mehr gemacht haben sollte, dürfte meine Aufgabe nun gelöst sein. Oder habe ich etwas übersehen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:50 Di 26.06.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kalex!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") So stimmt's ...
Gruß
Loddar
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