Berechnung e. Diff.gleichung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:15 Do 04.05.2006 | | Autor: | Moe007 |
| Aufgabe | | In vielen Fällen scheint das Wachstum eines Tumors durch eine DGL der Form x'= [mm] \lambda e^{-\alpha t}x [/mm] beschrieben zu werden, wobei x für das Volumen des Tumors steht und [mm] \lambda, \alpha [/mm] > 0 konstante Parameter sind. Zur Zeit t = 0 sei das Tumorvolumen x(0) = [mm] x_{0} [/mm] bekannt. Für welche Parameter [mm] \alpha, \lambda [/mm] > 0 erreicht der Tumor im Laufe der Zeit mindestens das Doppelte seines ursprünglichen Volumens? Wie lange dauert es in diesem Fall, bis es sich verdoppelt hat? |
Hallo Forum,
ich hab ein paar Probleme bei der Aufgabe und hoffe, es kann mir jemand weiter helfen.
Zunächst hab ich versucht, die DGL zu lösen. Es gilt ja x' - [mm] \lambda e^{-\alpha t}x [/mm] = 0, also ist [mm] \bruch{x'(t)}{x(t)} [/mm] = [mm] \lambda e^{-\alpha t}.
[/mm]
Dann gilt doch :
ln(x(t)) = [mm] \bruch{- \lambda}{\alpha} e^{-\alpha t} [/mm] + C
also ist x(t) = C * [mm] e^{\bruch{- \lambda}{\alpha} e^{-\alpha t}}
[/mm]
Das ist doch die Lösung der DGL oder?
x(0) = C * e [mm] ^{\bruch{- \lambda}{\alpha}} [/mm] oder?
Jetzt steht doch in der Aufgabe, dass zu einem Zeitpunkt t der Tumor sich verdoppelt hat. Ges. sind zunächst mal die Parameter.
Dann gilt doch diese Ungleichung: x(t) [mm] \ge [/mm] 2 x(0) oder?
Dann hab ich das ausgerechnet:
C * [mm] e^{\bruch{- \lambda}{\alpha} e^{-\alpha t}} \ge [/mm] 2 * C * e [mm] ^{\bruch{- \lambda}{\alpha}}
[/mm]
[mm] ln(\bruch{- \lambda}{\alpha} e^{-\alpha t}) \ge [/mm] ln(-2 * [mm] \bruch{\lambda}{\alpha})
[/mm]
Stimmt das soweit?
Ich weiß nicht wie ich die Parameter [mm] \lambda [/mm] und [mm] \alpha [/mm] > 0 bestimmen soll, weil ja der ln auf beiden Seiten negative Argumente hat und deshalb nicht definiert ist oder?
Wie bestimmt man dann da t, wo der Tumor sich verdoppelt hat? Dann mit den Werten von [mm] \lambda [/mm] und [mm] \alpha, [/mm] die man ermittelt hat?
Ich hoffe, es kann mir jemand weiter helfen.
Viele Grüße,
Moe
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:26 Do 04.05.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Moe
> In vielen Fällen scheint das Wachstum eines Tumors durch
> eine DGL der Form x'= [mm]\lambda e^{-\alpha t}x[/mm] beschrieben zu
> werden, wobei x für das Volumen des Tumors steht und
> [mm]\lambda, \alpha[/mm] > 0 konstante Parameter sind. Zur Zeit t =
> 0 sei das Tumorvolumen x(0) = [mm]x_{0}[/mm] bekannt. Für welche
> Parameter [mm]\alpha, \lambda[/mm] > 0 erreicht der Tumor im Laufe
> der Zeit mindestens das Doppelte seines ursprünglichen
> Volumens? Wie lange dauert es in diesem Fall, bis es sich
> verdoppelt hat?
> Zunächst hab ich versucht, die DGL zu lösen. Es gilt ja
> x' - [mm]\lambda e^{-\alpha t}x[/mm] = 0, also ist
> [mm]\bruch{x'(t)}{x(t)}[/mm] = [mm]\lambda e^{-\alpha t}.[/mm]
> Dann gilt
> doch :
> ln(x(t)) = [mm]\bruch{- \lambda}{\alpha} e^{-\alpha t}[/mm] + C
>
> also ist x(t) = C * [mm]e^{\bruch{- \lambda}{\alpha} e^{-\alpha t}}[/mm]
>
> Das ist doch die Lösung der DGL oder?
Richtig
> x(0) = C * e [mm]^{\bruch{- \lambda}{\alpha}}[/mm] oder?
Richtig
> Jetzt steht doch in der Aufgabe, dass zu einem Zeitpunkt t
> der Tumor sich verdoppelt hat. Ges. sind zunächst mal die
> Parameter.
>
> Dann gilt doch diese Ungleichung: x(t) [mm]\ge[/mm] 2 x(0) oder?
einfacher mit Gleichungen rechnen.
> Dann hab ich das ausgerechnet:
> C * [mm]e^{\bruch{- \lambda}{\alpha} e^{-\alpha t}} \ge[/mm] 2 * C *
> e [mm]^{\bruch{- \lambda}{\alpha}}[/mm]
richtig. und du siehst, auf beiden Seiten steht was positives!
den ln wendest du doch an als Umkehrfkt von e^, also bleibt der ln nicht einfachnochmal stehen!
> [mm]ln(\bruch{- \lambda}{\alpha} e^{-\alpha t}) \ge[/mm]
> ln(-2 * [mm]\bruch{\lambda}{\alpha})[/mm]
Das ist falsch!
logaritmiert kriegst du :
[mm] \bruch{- \lambda}{\alpha} e^{-\alpha t}=ln2 [/mm] - [mm] \bruch{\lambda}{\alpha}
[/mm]
du musst noch benutzen dass [mm] e^{-\alpha*t} [/mm] für [mm] \alpha,t>0 [/mm] kleiner 1 ist.
du kannst aber durch - [mm] \bruch{\lambda}{\alpha} [/mm] dividieren und nochmal logarithmieren.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:20 Do 04.05.2006 | | Autor: | Moe007 |
Hallo Leduart,
erstmal vielen Dank für deine Hilfe :).
Ich hab deinen Rat befolgt und hab folgendes gemacht:
ich hab diese Ungleichung durch - [mm] \bruch{\lambda}{\alpha} [/mm] geteilt:
[mm] \bruch{- \lambda}{\alpha} e^{-\alpha t} \ge [/mm] ln2 - [mm] \bruch{\lambda}{\alpha}
[/mm]
Dann erhalte ich:
[mm] e^{-\alpha t} \le \bruch{- ln(2) * \alpha}{\lambda} [/mm] +1
Dann hab ich das Ganze logarithmiert und erhalte:
[mm] -\alpha [/mm] t [mm] \le e^{\bruch{- ln(2) * \alpha}{\lambda} +1} [/mm] = [mm] 2^{\bruch{- \lambda}{\alpha}} [/mm] * e
Stimmt das so?
Jetzt hab ich ein Problem, wie kann ich denn aus dieser Ungleichung [mm] \alpha [/mm] und [mm] \lambda [/mm] > 0 bestimmen? Diese sind konstante Parameter.
Soll man sie in Abhängigkeit von t bestimmen oder einen bestimmten Wert für sie herausfinden?
Ich weiß leider nicht, wie ich die Parameter jetzt bestimmen soll.
Ich hoffe, du hilfst mir weiter.
Vielen Dank nochmals.
Viele Grüße,
Moe
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:20 Do 04.05.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Mö
Mit Umkehrfkt. hast du es nicht! Wenn du in Zukunft eine Gleichung mit ln oder der exp Funktion behandlst schreibs bitte explizit erst mal hin!
> Dann erhalte ich:
> [mm]e^{-\alpha t} \le \bruch{- ln(2) * \alpha}{\lambda}[/mm] +1
>
> Dann hab ich das Ganze logarithmiert und erhalte:
>
> [mm]-\alpha[/mm] t [mm]\le e^{\bruch{- ln(2) * \alpha}{\lambda} +1}[/mm] =
> [mm]2^{\bruch{- \lambda}{\alpha}}[/mm] * e
gründlich falsch!
[mm]ln(e^{-\alpha t}) \le ln(\bruch{- ln(2) * \alpha}{\lambda} +1)[/mm]
damit:
$ [mm] -\alpha [/mm] *t [mm] =ln(1-\bruch{\alpha}{\lambda}*ln2)$
[/mm]
das geht nur wenn die rechte Seite existiert, also das Argument von ln >0 ist
[mm] $(1-\bruch{\alpha}{\lambda}*ln2)>0$ [/mm] ausserdem muss das Argument <1 sein, aber wegen [mm] \bruch{\alpha}{\lambda}>0 [/mm] stimmt das sowieso.
Damit kriegst du ne Gleichung für [mm] \bruch{\alpha}{\lambda}.
[/mm]
jetzt kannst du eins von beiden freiwählen, das andere ergibt sich dann. d.h. das zu berechnende t hängt noch vom gewählten [mm] \lambda [/mm] ab!
Rechne aber nach, vielleicht hab ich was übersehen.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:50 Do 04.05.2006 | | Autor: | Moe007 |
Hallo Leduart,
du hast recht, logarithmieren ist nicht so mein Ding :D.... ist auch schon etwas länger her, wo man das mal gelernt hat.
Aber danke für deine Hilfe, das ist echt sehr nett von dir.
Also ich hab folgendes gemacht:
Es gilt doch nach deiner Lösung [mm] \bruch{\alpha}{\lambda} [/mm] ln 2 < 1
Umgeformt ergibt das : [mm] \bruch{\alpha}{\lambda} [/mm] < [mm] \bruch{1}{ln 2}
[/mm]
Dann hast du ja gesagt, dass man eins frei wählen kann, also hab ich mal [mm] \alpha [/mm] = 2 gewählt. Das geht doch oder?
Dann ist [mm] \bruch{2}{\lambda} [/mm] < [mm] \bruch{1}{ln 2}, [/mm] also [mm] \lambda [/mm] > 2 ln 2
Um t herauszubekommen, hab ich diese Ungleichung verwendet:
- [mm] \alpha [/mm] t [mm] \le [/mm] ln(1 - [mm] \bruch{\alpha}{\lambda} [/mm] ln 2)
Nach t aufgelöst und [mm] \alpha [/mm] = 2 eingesetzt, ergibt:
t [mm] \ge \bruch{ln(1- \bruch{2}{\lambda} ln 2}{-2}
[/mm]
Da das Argument vom ln < 1 ist, ist der Zähler negativ, also kommt für t was positives heraus in Abhängigkeit von [mm] \lambda. [/mm]
Stimmt das so?
Muss man den Wert von t jetzt noch genau bestimmen, oder reicht das so?
Kann man das [mm] \alpha [/mm] beliebig > 0 wählen?
Viele Grüße,
Moe
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:20 Do 04.05.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Mö
Deine Rechnung scheint mir richtig. t ausrechnen kannst du nur, wenn du auch noch ein [mm] \lambda [/mm] wählst.
damit "endliche" Zeiten rauskommen muss man wohl das Argument des ln deutlich von 0 verschieden machen.
Mir kommt das Ergebnis komisch vor, das find ich allerdings auch schon die Dgl. Aber ich kann sonst keinen Fehler finden.
Trag doch dein gewähltes [mm] \alpha [/mm] und [mm] \lambda [/mm] noch in die ursprüngliche Gleichung ein, um dann zu verifizieren, ob man dann ein t für die Vedopplung wirklich rauskriegt.
Gruss leduart
|
|
|
|
