Berechnung des inversen Elem. < Sonstiges < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:05 Di 13.11.2007 | | Autor: | Kueken |
| Aufgabe | Sei (G,°) eine Gruppe, und seien a(1 unten), a(2 unten),...,a(n unten) Element von G.
Berechnen Sie das inverse Element zu a(1 unten)°a(2 unten)°...°a(n unten), also (a(1 unten)°a(2 unten)°...°a(n unten))^-1. |
Hola!
Das ist eine Übungsaufgabe. Also die Lösung habe ich. Aber ich weiß nicht wie ich darauf kommen soll.
(ich habe immer unten geschrieben, für die Zahlen die eigentlich unten stehen sollen).
Vielen Dank schonmal und liebe Grüße
Kerstin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:18 Di 13.11.2007 | | Autor: | statler |
Guten Morgen Kerstin!
> Sei (G,°) eine Gruppe, und seien a(1 unten), a(2
> unten),...,a(n unten) Element von G.
> Berechnen Sie das inverse Element zu a(1 unten)°a(2
> unten)°...°a(n unten), also (a(1 unten)°a(2 unten)°...°a(n
> unten))^-1.
> Hola!
Como estas?
> Das ist eine Übungsaufgabe. Also die Lösung habe ich. Aber
> ich weiß nicht wie ich darauf kommen soll.
> (ich habe immer unten geschrieben, für die Zahlen die
> eigentlich unten stehen sollen).
(Dafür gibt es den Editor.)
Die Lösung ergibt sich z. B. für n = 2 so:
Gesucht ist das Inverse von [mm] a_{1} \circ a_{2}, [/mm] also die Lösung der Gleichung [mm] (a_{1} \circ a_{2}) \circ [/mm] x = e.
Aber x kannst du ausrechnen, du multiplizierst erst von links mit dem Inversen von [mm] a_{1} [/mm] und dann mit dem Inversen von [mm] a_{2}.
[/mm]
In lockerer Sprache: Inversenbildung dreht die Reihenfolge um, oder vornehm: Inversenbildung ist ein Antiautomorphismus.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:05 Di 13.11.2007 | | Autor: | Kueken |
Buenos dias! :)
>Como estas? <
Muy bien, y tú?
Ich versuchs jetzt mal mit dem Editor ... aber ich übernehme keine Haftung (editoren mögen mich in der Regel nicht und ich sie auch nicht *g*)
jetzt kann ich die erste Zeile nachvollziehen. Wusste nicht, dass ich bei einer Verknüpfung davon ausgehen darf, dass es mal sein kann. Wobei beim inversen Element...ich Schaf!
Nu gut, also:
( [mm] a_{1} \circ a_{2} \circ [/mm] ... [mm] \circ a_{n} [/mm] ) [mm] \circ [/mm] ( [mm] a_{1} \circ a_{2} \circ [/mm] ... [mm] \circ a_{n} )^{-1} [/mm] = n
und
[mm] a_{1} \circ a_{2} \circ [/mm] ... [mm] a_{n} \circ a_{n}^{-1} \circ [/mm] ... [mm] a_{2}^{-1} \circ a_{1}^{-1}
[/mm]
so jetzt aber die nächste Zeile, wo kommt da das [mm] a_{n-1} [/mm] her?
= [mm] a_{1} \circ a_{2} \circ [/mm] ... [mm] \circ a_{n-a} \circ [/mm] n [mm] \circ a_{n-1}^{-1} \circ [/mm] ...
[mm] \circ a_{2}^{-1} \circ a_{1}^{-1}
[/mm]
boah, da wär ich aber mit meinem unten und oben 10 mal schneller gewesen...
Liebe Grüße
KErstin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:07 Di 13.11.2007 | | Autor: | Kueken |
och nee, wo kommen denn die Dollarzeichen her???
Ist nachvollziehbar was da stehen soll?
Sonst versuch ichs nochmal.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:26 Di 13.11.2007 | | Autor: | statler |
> Buenos dias! :)
>
> >Como estas? <
> Muy bien, y tú?
>
> Ich versuchs jetzt mal mit dem Editor ... aber ich
> übernehme keine Haftung (editoren mögen mich in der Regel
> nicht und ich sie auch nicht *g*)
>
> jetzt kann ich die erste Zeile nachvollziehen. Wusste
> nicht, dass ich bei einer Verknüpfung davon ausgehen darf,
> dass es mal sein kann. Wobei beim inversen Element...ich
> Schaf!
> Nu gut, also:
> ( [mm]a_{1} \circ a_{2} \circ[/mm] ... [mm] \circ a_{n}[/mm] ) [mm]\circ[/mm] ( [mm]a_{1} \circ a_{2} \circ[/mm]
> ... [mm]\circ a_{n} )^{-1}[/mm] = n
[mm] (a_{1} \circ a_{2} \circ [/mm] ... [mm] \circ a_{n}) \circ (a_{1} \circ a_{2} \circ [/mm] ... [mm] \circ a_{n})^{-1} [/mm] = e
(Bei mir heißt das neutrale Element meistens e.)
> und
> [mm]a_{1} \circ a_{2} \circ[/mm] ... [mm]a_{n} \circ a_{n}^{-1} \circ[/mm]
> ... [mm]a_{2}^{-1} \circ a_{1}^{-1}[/mm]
[mm] a_{1} \circ a_{2} \circ [/mm] ... [mm] a_{n} \circ a_{n}^{-1} \circ [/mm] ... [mm] a_{2}^{-1} \circ a_{1}^{-1} [/mm]
= [mm] a_{1} \circ a_{2} \circ [/mm] ... [mm] a_{n-1} \circ a_{n-1}^{-1} \circ [/mm] ... [mm] a_{2}^{-1} \circ a_{1}^{-1}
[/mm]
= [mm] a_{1} \circ a_{2} \circ [/mm] ... [mm] a_{n-2} \circ a_{n-2}^{-1} \circ [/mm] ... [mm] a_{2}^{-1} \circ a_{1}^{-1}
[/mm]
= ... = e.
Wenn du jetzt weißt, daß es nur ein Inverses gibt, kannst du folgern, daß die beiden Elemente
[mm] (a_{1} \circ a_{2} \circ [/mm] ... [mm] \circ a_{n})^{-1}
[/mm]
und
[mm] \circ a_{n}^{-1} \circ [/mm] ... [mm] a_{2}^{-1} \circ a_{1}^{-1}
[/mm]
gleich sein müssen.
Gruß
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:26 Di 13.11.2007 | | Autor: | Kueken |
ich muss da noch ein bissi drüber nachdenken....
Das will mir irgendwie nicht so recht einleuchten...
Wie hab ich denn mit der Rechnung versucht nachzuweisen, dass es das inverse Element gibt, indem ich was genau gemacht habe?...Mein Hirn streikt gerade völligst :(
Liebe Grüße
Kerstin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:05 Di 13.11.2007 | | Autor: | statler |
Mahlzeit Kerstin!
> ich muss da noch ein bissi drüber nachdenken....
> Das will mir irgendwie nicht so recht einleuchten...
> Wie hab ich denn mit der Rechnung versucht nachzuweisen,
> dass es das inverse Element gibt, indem ich was genau
> gemacht habe?...Mein Hirn streikt gerade völligst :(
Daß es ein Inverses gibt, mußt du nicht nachweisen, das ist voraussetzungsgemäß so, weil wir in einer Gruppe unterwegs sind!
Aber du hast es auch bestimmt, indem du es nach den Regeln, nach denen man in einer Gruppe rechnet, ausgerechnet hast. Wenn du in einer Gruppe eine Gleichung der Form axb = c hast, dann kannst du x ausrechnen, indem du diese Gleichung nach x auflöst (x freistellen). Du verknüpfst beide Seiten der Gl. von links mit [mm] a^{-1} [/mm] und von rechts mit [mm] b^{-1} [/mm] und erhältst x = [mm]a^{-1}[/mm]c[mm]b^{-1}[/mm], das ist die Lösung! Es muy claro.
Liebe Grüße
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:25 Di 13.11.2007 | | Autor: | Kueken |
Wäre dann [mm] a^{-1} [/mm] c [mm] b^{-1} [/mm] das inverse Element zu der Gleichung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:49 Di 13.11.2007 | | Autor: | statler |
> Wäre dann [mm]a^{-1}[/mm] c [mm]b^{-1}[/mm] das inverse Element zu der
> Gleichung?
Nee, eine Gleichung hat kein inverses Element! Dieses Element ist die Lösung der Gleichung.
Wenn ich ein Inverses zu a suche, dann muß ich die Gl. ax = e lösen, und das ist noch einfacher.
Grüße aus dem Norden
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:02 Di 13.11.2007 | | Autor: | Kueken |
ahhh
Glühbirne im Hirn angegangen :)
jetzt habsch verstanden...
dankeschön :)
Liebe Grüße
Kerstin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:26 Di 13.11.2007 | | Autor: | Kueken |
Na wer weiß, was du in deiner Freizeit machst :)
(kleiner Spaß am Rande)
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