Berechnung des Erwartungswerts < stoch. Prozesse < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:38 Di 19.06.2012 | | Autor: | Tom_Tom |
| Aufgabe | | [mm] E\{X\} [/mm] = [mm] E\{ E\{X|Y\} \} [/mm] |
Ich möchte gerne nachweisen, dass der Zusammenhang in der Aufgabenstellung gilt, komme aber nicht zum Ziel. Eine äquivalente Problemstellung lautet:
[mm] \integral_{S_x}^{}{x \cdot f_x(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{S_y}^{}{f_y(y) \left(\integral_{S_x}^{}{x \cdot f(x|y)dx}\right)dy}
[/mm]
mit [mm] S_x [/mm] und [mm] S_y [/mm] als Support der Zufallsvariablen x bzw. y.
Mit Hilfe der Regel von Bayes habe ich versucht umzustellen:
$f(x|y)$ = [mm] \frac{f(y|x) \cdot f(x)}{f(y)}
[/mm]
wobei sich die Dichte $f(y)$ weggekürzt hat.
Dann würde die Gleichung lauten:
[mm] \integral_{S_x}^{}{x \cdot f_x(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{S_y}^{}{\left(\integral_{S_x}^{}{x \cdot f(x) \cdot f(y|x)dx}\right)dy}
[/mm]
Die Gleichheit sehe ich aber immer noch nicht :-(
Hat jemand für diese Aufgabe einen Tipp zur Lösung? Bei Stochastischen Aufgaben bekomme ich immer einen Knoten im Gehirn.
Vielen Dank schon mal.
Gruß
Tom
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:15 Di 19.06.2012 | | Autor: | Tom_Tom |
Puh, jetzt habe ich mir zwar eine Lösung zusammengezimmert, aber dabei habe ich schon etwas Bauchschmerzen.
Hier die Mathematisch nicht fundierte Lösung:
$ [mm] \integral_{S_y}^{}{\left(\integral_{S_x}^{}{x \cdot f(x) \cdot f(y|x)dx}\right)dy} [/mm] = [mm] \integral_{S_y}^{}{\left(\integral_{S_x}^{}{x \cdot f(y,x)dx}\right)dy} [/mm] $
Mit $f(y,x)$ als Verbunddichte.
Wenn ich nun die Inttegrale über [mm] S_x [/mm] und [mm] S_y [/mm] vertausche, so wird aus [mm] $\integral_{S_y}^{}{f(y,x)dy} [/mm] = f(x)$ und das Ergebnis ist erreicht. Aber darf ich das ohne Bedenken einfach machen?
Mein zweiter Lösungsansatz war das innere Integral [mm] $\integral_{S_x}^{}{x \cdot f(y,x)dx}$ [/mm] partiell zu integrieren. Jedoch kommt dann bei mir nur Quatsch heraus:
[mm] $\integral_{S_x}^{}{x \cdot f(y,x)dx} [/mm] = x [mm] \cdot [/mm] f(y) - [mm] \integral_{S_x}^{}{1 \cdot f(y)dx}$. [/mm]
Ich habe hier für die partielle Integration $x = g(x)$ und $f(y,x) = h'(x)$ gesetzt. Wenn ich mich nicht täusch sollte das Integral der Verbunddichte über [mm] $S_x$ [/mm] gleich der Randdichte $f(y)$ sein.
Jedoch komme ich mit meinem berechneten Ergebnis dann gar nicht mehr zum Ziel.
Noch einen schönen Abend,
Tom
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:02 Di 19.06.2012 | | Autor: | luis52 |
Moin,
$ [mm] f(y|x)=\frac{f(x,y)}{f_x(x)}$ [/mm] ...
vg Luis
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 09:14 Mi 20.06.2012 | | Autor: | Tom_Tom |
Hi Luis,
vielen Dank für deine Hilfe.
Den Schritt hin zur Verbunddichte habe ich ja auch schon durchgeführt (siehe meine Mitteilung zur Frage) und konnte das Ergebnis durch vertauschen der Integrale erreichen.
Meine Frage war jedoch darauf bezogen, warum es mit partieller Integration nicht klappt.
Ich kann zwar mit der Methode die Integrale zu vertauschen leben, aber da ich kein Mathematiker bin, fühle ich mich dabei immer etwas unwohl.
Viele Grüße,
Tom
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:20 Fr 22.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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