Berechnung der Zahl Pi < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:25 Mi 24.06.2009 | | Autor: | alex84hh |
Hallo,
ich beschäftige mich gerade mit der Monte-Carlo-Methode, besser gesagt mit der Hit-or-Miss Methode.
Ich habe folgende Anwendungsbereiche für die Monte-Carlo-Methode gefunden und zwar:
Numerische Probleme, wie beispielsweise Berechnung bestimmter Integrale oder die Lösung gewöhnlicher und partieller Differentialgleichungen,
Zuverlässigkeitsuntersuchungen technischer Systeme und anderer Produkte, etwa die Bestimmung der Lebensdauer von Glühlampen,
Probleme des Operations Research, wie Lagerhaltungs- und Transportprobleme,
Untersuchung von Erdbeben und weiteren Naturphänomenen, sowie die
Entscheidungsfindung durch Simulation oder Risikobewertung von Portfolien im Investment Banking.
Die Näherung der Zahl Pi mit der Hit-or-Miss Methode, gehört es zu der erste Kategorie: Berechnung bestimmter Integrale???
Ermittlung der Fläche eines Viertelkreises:
[mm] \pi=4*Punkte [/mm] die auf der Kreisfläche liegen/ Alle Punkte
Lg Alex
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:52 Do 25.06.2009 | | Autor: | alex84hh |
Hallo, habe da noch eine Frage zu der Herleitung.
Ist es korrekt, wenn ich sage:
Betrachten wir ein Einheitskreis und außenrum ein Quadrat, so gilt [mm] A_{K}=\pi*r^{2} [/mm] und für [mm] A_{Q}=(2*r)^{2}=4*r^{2}, [/mm] da eine Seitenlänge [mm] =r^2 [/mm] ist und für a*a, somit [mm] 4*r^{2}. [/mm] Zur Vereinfachung betrachten wir nur ein Viertel und somit gilt [mm] A_{K}=\bruch{1}{4}(wegen [/mm] dem [mm] Viertel)*\pi*r^{2} [/mm] und für [mm] A_{Q}=(1*r)^{2}=r^{2} [/mm] somit ergibt [mm] \bruch{\bruch{1}{4}*\pi*r^2}{r^2}.. [/mm] gekürzt würde es so aussehen.. [mm] \bruch{1}{4}*\pi. [/mm] Stellt man es nach [mm] \pi [/mm] um = [mm] \pi=4*\bruch{Punkte die auf der Kreisfläche liegen}{Alle Punkte}. [/mm] Ist mein Erklärung so korrekt???
Lg Alex
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:58 Do 25.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo, habe da noch eine Frage zu der Herleitung.
> Ist es korrekt, wenn ich sage:
> Betrachten wir ein Einheitskreis und außenrum ein Quadrat,
> so gilt [mm]A_{K}=\pi*r^{2}[/mm] und für [mm]A_{Q}=(2*r)^{2}=4*r^{2},[/mm] da
> eine Seitenlänge [mm]=r^2[/mm] ist
Nein. Die Seitenlänge ist = 2r
> und für a*a, somit [mm]4*r^{2}.[/mm] Zur
> Vereinfachung betrachten wir nur ein Viertel und somit gilt
> [mm]A_{K}=\bruch{1}{4}(wegen[/mm] dem [mm]Viertel)*\pi*r^{2}[/mm] und für
> [mm]A_{Q}=(1*r)^{2}=r^{2}[/mm] somit ergibt
> [mm]\bruch{\bruch{1}{4}*\pi*r^2}{r^2}..[/mm] gekürzt würde es so
> aussehen.. [mm]\bruch{1}{4}*\pi.[/mm] Stellt man es nach [mm]\pi[/mm] um =
> [mm]\pi=4*\bruch{Punkte die auf der Kreisfläche liegen}{Alle Punkte}.[/mm]
Das ist schon etwas abenteuerlich !
> Ist mein Erklärung so korrekt???
Erklärung für was ?
FRED
>
> Lg Alex
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:35 Do 25.06.2009 | | Autor: | alex84hh |
Hallo,
meine Erklärung zu der Herleitung der Formel [mm] \pi=4*\bruch{Alle Punkte die auf der Kreisfläche liegen}{Alle Punkte}. [/mm] Ist es aber so weit richtig? Könne mir bitte jemand auch bei der 1. Frage behilflich sein??
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> Hallo,
> meine Erklärung zu der Herleitung der Formel
> [mm]\pi=4*\bruch{Alle\quad Punktequad die\quad auf \quad der\ quad Kreisflaeche \quad liegen}{Alle\quad Punkte}.[/mm]
Hallo,
diese Formel ist Unfug, weil man nicht Punkte durcheinander dividieren kann.
Allenfalls kann man die Anzahlen von irgendwelchen Punkten mit bestimmten Eigenschaften durcheinander dividieren -was hier schwerfallen wird, da man mit dem Zählen der Punkte auf dem Kreis lange beschäftigt sein wird...
Mit den von Dir zuvor gewählten Bezeichnungen ist folgendes richtig:
[mm] \pi=4\bruch{A_K}{A_Q}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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> Hallo,
> ich beschäftige mich gerade mit der Monte-Carlo-Methode,
> besser gesagt mit der Hit-or-Miss Methode.
> Ich habe folgende Anwendungsbereiche für die
> Monte-Carlo-Methode gefunden und zwar:
> Numerische Probleme, wie beispielsweise Berechnung
> bestimmter Integrale oder die Lösung gewöhnlicher und
> partieller Differentialgleichungen
> .......
> .......
> Die Näherung der Zahl Pi mit der Hit-or-Miss Methode,
> gehört die zu der ersten Kategorie: Berechnung bestimmter
> Integrale???
> Ermittlung der Fläche eines Viertelkreises:
> [mm] $\pi=4*\bruch{Punkte\ die\ auf\ der\ Kreisflaeche\ liegen}{Alle\ Punkte}$
[/mm]
> Lg Alex
>
Hallo Alex,
ich glaube, ich kann dich ein wenig trösten: Deine Idee
ist mindestens im Prinzip richtig, wenn du sie vielleicht
auch nicht in ganz gut verständlicher Weise rübergebracht
hast. Bei der Monte-Carlo-Methode für das Pi-Beispiel
produziert man ja eine grosse Anzahl [mm] N_Q [/mm] von Zufalls-
zahlen-Paaren (x,y) mit x und y aus [0,1) (gleichverteilt).
Dann zählt man diejenigen mit [mm] x^2+y^2<1. [/mm] Deren Anzahl
sei [mm] N_K. [/mm] Dann liefert der Ausdruck
[mm] 4*\bruch{N_K}{N_Q}
[/mm]
einen Näherungswert für das Flächenverhältnis
[mm] 4*\bruch{A_K}{A_Q}
[/mm]
also für die Zahl [mm] \pi [/mm] . Im Prinzip hat man damit tat-
sächlich einen Näherungswert für ein bestimmtes
Integral, nämlich:
$\ [mm] F_{Einheitskreis}=4*F_{Viertelkreis}=4*\integral_{0}^{1}\sqrt{1-x^2}\,dx$
[/mm]
Als eigentliche "numerische Methode zur Berechnung
der Zahl [mm] \pi [/mm] " ist sie allerdings praktisch absolut unge-
eignet, weil dabei ein Riesenaufwand nötig ist, um
auch nur wenige Dezimalen von [mm] \pi [/mm] richtig zu bestim-
men.
Sinnvoll kann die Montecarlo-Methode allenfalls
zur Berechnung von Näherungen für bestimmte
Integrale sein, bei denen alle "besseren" Methoden
scheitern.
LG Al-Chw.
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