Berechnung der Operatornorm < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei n [mm] \in \IN, t_{1}, ...,t_{n} \in [/mm] [0,1], [mm] t_{i} \not= t_{j} [/mm] für i [mm] \not= [/mm] j und [mm] \alpha_{1},...,\alpha_{n} \in \IR [/mm]
Berechne die Operatornorm des Funktionals:
S: C([0,1]) [mm] \to \IR [/mm] , f [mm] \mapsto [/mm] Sf := [mm] \summe_{i=1}^{n} \alpha_{i}f(t_{i})
[/mm]
Wobei alle Räume mit Ihrer natürlichen Norm verbunden sind. |
Ich meine die Operatornorm ist ja zunächst mal:
[mm] ||S||_{op} [/mm] = [mm] \bruch{|Sf|}{||f||_{1}} [/mm] = [mm] sup_{f\not=0} \bruch{|\summe_{i=1}^{n} \alpha_{i}f(t_{i})|}{\summe_{i=1}^{\infty} |f(t_{i})|}
[/mm]
Dabei bin ich mir jedoch nicht gant sicher mit der "natürlichen" Norm von C([0,1]). Ist das überhaupt die [mm] ||*||_{1} [/mm] Norm ?
Und wenn ja, wie geht dort der Ansatz.
Eine ähnliche Aufgabe mit anderen Räumen und einem anderen Funktional konnte ich mit der Hölder-Ungleichung abschätzen.
Aber hierzu fehlt mir wirklich der Funke.
Hoffe Euch fällt was ein...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:45 Do 15.05.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> Sei n [mm]\in \IN, t_{1}, ...,t_{n} \in[/mm] [0,1], [mm]t_{i} \not= t_{j}[/mm]
> für i [mm]\not=[/mm] j und [mm]\alpha_{1},...,\alpha_{n} \in \IR[/mm]
> Berechne die Operatornorm des Funktionals:
>
> S: C([0,1]) [mm]\to \IR[/mm] , f [mm]\mapsto[/mm] Sf := [mm]\summe_{i=1}^{n} \alpha_{i}f(t_{i})[/mm]
>
> Wobei alle Räume mit Ihrer natürlichen Norm verbunden
> sind.
> Ich meine die Operatornorm ist ja zunächst mal:
> [mm]||S||_{op}[/mm] = [mm]\bruch{|Sf|}{||f||_{1}}[/mm] = [mm]sup_{f\not=0} \bruch{|\summe_{i=1}^{n} \alpha_{i}f(t_{i})|}{\summe_{i=1}^{\infty} |f(t_{i})|}[/mm]
>
> Dabei bin ich mir jedoch nicht gant sicher mit der
> "natürlichen" Norm von C([0,1]). Ist das überhaupt die
> [mm]||*||_{1}[/mm] Norm ?
in der regel wird als natürliche norm von $C([0,1])$ die maximumsnorm verstanden, also [mm] $\|f\|_{C([0,1])} [/mm] = [mm] \max_{x \in [0,1]}|f(x)|$.
[/mm]
da die punkte [mm] $t_i$ [/mm] diskret liegen, kann man eine geeignete stetige funktion $f$ mit [mm] $\|f\| [/mm] = 1$ finden, so dass sie im punkt [mm] $t_i$ [/mm] gerade [mm] $\pm [/mm] 1$, je nach dem vorzeichen von [mm] $\alpha_i$ [/mm] ist und dann erhält man...
grüße
andreas
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Danke! Das hilft schonmal!
Aber nochmal zum Verständnis:
mit der Max-Norm erhalte ich ja:
[mm] ||S||_{op} [/mm] = [mm] sup_{f\not=0} \bruch{|\summe_{i=1}^{n} \alpha_{i}f(t_{i})|}{max_{t_{i}\in[0,1]} |f(t_{i})|} \overbrace{=}^{mit Deinen Argumenten} sup_{f\not=0} \bruch{|\summe_{i=1}^{n} \alpha_{i}f(t_{i})|}{1} [/mm]
Ich verstehe ehrlich gesagt nicht ganz das Argument mit der Diskretheit und den Satz "je nach dem Vorzeichen von [mm] \alpha_{i}
[/mm]
Ich glaube ich habe auch einfach ein Problem mit diesen "Berechne" Aufgaben, weil mir da immer gar nicht klar ist wo es hingehen soll. Ich meine
[mm] ||S||_{op} [/mm] = [mm] sup_{f\not=0} \bruch{|\summe_{i=1}^{n} \alpha_{i}f(t_{i})|}{max_{t_{i}\in[0,1]} |f(t_{i})|}
[/mm]
ist ja schon die Operatornorm. Man kann dann ja das Max. noch einen Buchstaben ala
[mm] ||S||_{op} [/mm] = [mm] sup_{f\not=0} \bruch{|\summe_{i=1}^{n} \alpha_{i}f(t_{i})|}{M_{f_{t_{i}}}}
[/mm]
Ich meine kann man nicht allein schon aus:
[mm] ||S||_{op} [/mm] = [mm] sup_{f\not=0} \bruch{||Sf||}{||f|| } [/mm] = [mm] sup_{f\not=0} \{ |Sf| : ||f||=1 \}
[/mm]
folgern und ist fertig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:35 Do 15.05.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> Ich meine kann man nicht allein schon aus:
>
> [mm]||S||_{op}[/mm] = [mm]sup_{f\not=0} \bruch{||Sf||}{||f|| }[/mm] =
> [mm]sup_{f\not=0} \{ |Sf| : ||f||=1 \}[/mm]
>
> folgern und ist fertig?
ok, es ist schonmal gut, wenn man sich auf die einheitssphäre zurückziehen kann. du hast damit [mm] $\|S\| [/mm] = [mm] \sup_{\|f\| = 1} \sum_{i=1}^n |\alpha_if(t_i)|$. [/mm] die norm kann man nun aber deutlich expliziter in termen der [mm] $\alpha_i$ [/mm] angeben. verwende dazu die dreiecksungleichung und, da $f$ auf der einheitssphäre liegt, dass [mm] $|f(t_i)| \leq [/mm] 1$. dadurch erhälst du eine abschätzung der operatornorm nach oben. nun kannst du dir überlegen, dass in dieser ungleichung sogar gleichheit gelten muss, indem du ein $f$ angibst, für dass das supremum tatsächlich den nach oben abgeschätzten wert annimmt - dafür ist die von mir angesprochene diskretheit der [mm] $t_i$'s [/mm] nötig. wenn du die abschätzung hast kommst du vermutlich auch auf die idee, wie das $f$ zu wählen ist und was ich mit meinen ausführungen in der ersten antwort meine. wenn nicht, meld dich einfach nochmals.
grüße
andreas
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naja, dass was ich da jetzt immer noch nicht verstehe ist der anfängliche Hinweis von Dir:
da die punkte [mm] t_{i} [/mm] diskret liegen, kann man eine geeignete stetige funktion f mit ||f|| = 1 finden, so dass sie im punkt [mm] t_{i} [/mm] gerade [mm] \pm1 [/mm] , je nach dem vorzeichen von [mm] \alpha_{i} [/mm] ist.
Denn f hängt ja nun gar nicht von [mm] \alpha_{i} [/mm] ab. so dass man ja wohl kaum eine Funktion abhängig vom Vorzeichen von [mm] \alpha_{i} [/mm] erhalten kann.
Sorry wenn ich da gerade völlig trottelig frage, aber scheint irgendwie nicht mein Gebiet zu sein! 
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:21 Do 15.05.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> naja, dass was ich da jetzt immer noch nicht verstehe ist
> der anfängliche Hinweis von Dir:
>
> da die punkte [mm]t_{i}[/mm] diskret liegen, kann man eine
> geeignete stetige funktion f mit ||f|| = 1 finden, so dass
> sie im punkt [mm]t_{i}[/mm] gerade [mm]\pm1[/mm] , je nach dem vorzeichen
> von [mm]\alpha_{i}[/mm] ist.
vergiss den hinweis erstmal. hast du denn eine abschätzung [mm] $\|S\| \leq [/mm] ...$ hinbekommen (wobei auf der rechten seite eben nur noch die [mm] $\alpha_i$'s [/mm] vorkommen). dazu habe ich dir doch auch einige hinweise gegeben?
grüße
andreas
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Naja, bei mir ist
[mm] \|S\| [/mm] = [mm] sup_{||f||=1} \|Sf\| [/mm] = [mm] |\summe_{i=1}^{n}\alpha_{i}f(t_{i})| \overbrace{\le}^{Dreiecksungleichung} \summe_{i=1}^{n}|\alpha_{i}f(t_{i})| \overbrace{\le}^{|f(t_{i})|\le1} \summe_{i=1}^{n}|\alpha_{i}|
[/mm]
aber ich kann ja jetzt nicht einfach eine Funktion
[mm] f_{0}(t_{i})=\begin{cases} 1, & \mbox{für } \alpha_{i}\ge0 \\ -1, & \mbox{für } \alpha_{i}<0 \end{cases}
[/mm]
ich meine, für die wäre dann zwar [mm] \|S\| [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n}|\alpha_{i}|
[/mm]
aber trotzdem kann ich ja schlecht das [mm] \alpha_{i} [/mm] in die Funktionenkonstruktion mit reinnehmen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:56 Do 15.05.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> Naja, bei mir ist
>
> [mm]\|S\|[/mm] = [mm]sup_{||f||=1} \|Sf\|[/mm] =
> [mm]|\summe_{i=1}^{n}\alpha_{i}f(t_{i})| \overbrace{\le}^{Dreiecksungleichung} \summe_{i=1}^{n}|\alpha_{i}f(t_{i})| \overbrace{\le}^{|f(t_{i})|\le1} \summe_{i=1}^{n}|\alpha_{i}|[/mm]
das passt und wird sich eben als gleichheit erweisen (vor den summenzeichen solltet vielleicht auch noch ein supremum stehen).
> aber ich kann ja jetzt nicht einfach eine Funktion
>
> [mm]f_{0}(t_{i})=\begin{cases} 1, & \mbox{für } \alpha_{i}\ge0 \\ -1, & \mbox{für } \alpha_{i}<0 \end{cases}[/mm]
>
> ich meine, für die wäre dann zwar [mm]\|S\|[/mm] =
> [mm]\summe_{i=1}^{n}|\alpha_{i}|[/mm]
>
> aber trotzdem kann ich ja schlecht das [mm]\alpha_{i}[/mm] in die
> Funktionenkonstruktion mit reinnehmen.
warum denn nicht. der operator $S$ ist doch durch endlich viele paare [mm] $(t_i, \alpha_i)$ [/mm] spezifiziert, diese paare sind also "bekannt", sonst könntest du die oben von dir angegeben ungleichung doch auch nicht angeben. um die gleichheit zu zeigen musst du nun doch nur noch ein $f [mm] \in [/mm] C([0,1])$ mit [mm] $\|f\| [/mm] = 1$ angeben, für welches in obiger ungelichung wirklich gleichheit gilt angeben, dann kann das supremum welches du nach oben abgeschätzt hast nicht kleiner sein.
nun hast du dir ja überlegt, wie die funktion $f$ in den punkten [mm] $t_i$ [/mm] aussehen soll. jetzt genügt es sich eben zu überlegen, dass es tatsächlich eine stetige funktion $f$ gibt, die eben in den punkten genau diese bedingung erfüllt, aber das ist im prinzip klar (mach dir einfach eine skizze um dir das klarzumachen, die funktion $f$ ist dann einfach eine die zwischen $1$ und $-1$ pendelt).
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:48 Fr 16.05.2008 | | Autor: | andreas |
hi
um noch ein stichwort zu geben um möglichst einfach zu argumentieren: "stückweise linear", man kann diese funktion zwar mit beliebiger glattheit konstruieren, aber mit solch einen graph, welcher entweder ein konstante oder lineare funktion beschreibt, ist wohl leichter zu argumentieren.
grüße
andreas
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