Berechnung der Matrixexpfktn. < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Hierbei soll es um die allgemeine Berechnung von [mm] $e^{Ax}$ [/mm] gehen. |
Hallo,
mich verwirrt momentan die Tatsache, dass es sich bei der Matrixexponentialfunktion [mm] $e^{Ax} [/mm] um ein Lösungen-Fundamentalsystem der DGL x'=Ax handelt, denn sei S die Transformationsmatrix, die mir die Jordonnormalform [mm] $J=S^{-1}AS$ [/mm] liefert. Dann gibt es einen Satz der besagt, dass [mm] $\Phi(t)=e^{\lambda t}$\begin{pmatrix} 1 && t && \frac{t^2}{2}...&& \frac{t^{m-2}}{(m-2)!} && \frac{t^{m-1}}{(m-1)!} \\
0 && 1 && t... && \frac{t^{m-3}}{(m-3)!} && \frac{t^{m-2}}{(m-2)!} \\
... && ... && ... && ... && ... \\
0 && 0 && 0... && 1 && t \\
0 && 0 && 0... && 0 && 1
\end{pmatrix}$ [/mm] (für jedes Jordankästchen der Größe [mm] $m\times$\emph{m}) [/mm] ein Lösungen-Fundamentalsystem von $y'=Jy$ ist.
Dann sollte ja eigentlich [mm] $e^{Ax}=S\Phi(x)$ [/mm] sein, da diese Operation das Lösungen-Fundamentalsystem zurücktransformiert. Angegeben wird für die Matrixexponentialfunktion aber stets [mm] $e^{Ax}=S\Phi(x)S^{-1}$.
[/mm]
Meine Annahme ist nun folgende: Die zweite Gleichung berechnet mir die Matrixexponentialfunktion nach deren Definition, wobei beide Gleichungen ein mögliches Lösungen-Fundamentalsystem der ursprünglichen DGL $x'=Ax$ darstellen. Ist diese Annahme korrekt? Und wie macht man's richtig, falls nicht?
Vielen Dank für eure Hilfe.
PS: Entschuldigt, falls man hier nur Aufgaben posten darf. Aber die Antwort auf diese Frage ist mir sehr wichtig.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:18 Do 02.06.2011 | | Autor: | fred97 |
Setze [mm] $Y(x)=e^{xA}$. [/mm] Differentiation liefert:
[mm] $Y'(x)=Ae^{xA}=AY(x)$.
[/mm]
Nun siehst Du: jedes Spalte von Y ist eine Lösung von y'=Ay.
Man weiß außerdem: die Spalten von Y sind linear unabhängig.
FRED
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Erstmal vielen Dank für die super schnelle Antwort, welche exakt zu meinem bisherigen Weltbild zu passen scheint. (Dies wurde gestern durch Beispiele der Mathematiker zur Berechnung von [mm] $e^{Ax}$ [/mm] vollkommen zertrümmert...)
Das bedeutet also jedes linear unabhängige LFS der DGL x'=Ax ist [mm] $e^{Ax} [/mm] und somit existiert keine vorgeschriebene Darstellung, oder? Sind nun also die beiden von mir vorgeschlagenen LFS's ein Ausdruck für ein und dasselbe? (Ich habe dazu keinen Beweis aber allen Grund zur Annahme.)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:43 Do 02.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> Erstmal vielen Dank für die super schnelle Antwort, welche
> exakt zu meinem bisherigen Weltbild zu passen scheint.
> (Dies wurde gestern durch Beispiele der Mathematiker zur
> Berechnung von [mm]e^{Ax}[/mm] vollkommen zertrümmert...)
> Das bedeutet also jedes linear unabhängige LFS der DGL
> x'=Ax ist [mm]$e^{Ax}[/mm]
Nein, nicht jedes.
Die Spalten von [mm]$e^{Ax}[/mm] bilden ein Fundamentalsystem
FRED
> und somit existiert keine vorgeschriebene
> Darstellung, oder? Sind nun also die beiden von mir
> vorgeschlagenen LFS's ein Ausdruck für ein und dasselbe?
> (Ich habe dazu keinen Beweis aber allen Grund zur Annahme.)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:47 Do 02.06.2011 | | Autor: | etechniker |
OK
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