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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:54 Do 05.01.2006 | | Autor: | DeLuxor |
| Aufgabe | Sei x [mm] \in [/mm] [0,2 [mm] \pi] [/mm] und n [mm] \in \IN. [/mm] Wir definieren [mm] z_{n,k}:=exp [/mm] (kix/n) für k=0,1,...,n, sowie [mm] L_{n}:= \summe_{k=1}^{n} [/mm] | [mm] z_{n,k}-z_{n,k-1} [/mm] |
a) Interpretieren Sie [mm] L_{n}(x) [/mm] geometrisch.
b) Zeigen Sie: [mm] L_{n}(x) [/mm] =2n sin(x/2n)
c) Beweisen Sie: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} L_{n}(x)=x [/mm] |
Hallo zusammen
Ich habe b) bereits umgeformt auf
[mm] L_{n}(x)= \summe_{k=1}^{n}¦exp(k-1/2)ix/n¦\*¦exp(ix/2n) [/mm] - exp(-ix/2n)¦
weiss jetzt aber nicht wie ich 2nsin(x/2n) daraus bekomme. Im zweiten Teil steht der Ansatz von sin, aber was mache ich mit dem ersteren Betrag?
Danke euch schon im voraus
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> Sei x [mm]\in[/mm] [0,2 [mm]\pi][/mm] und n [mm]\in \IN.[/mm] Wir definieren
> [mm]z_{n,k}:=exp[/mm] (kix/n) für k=0,1,...,n, sowie [mm]L_{n}:= \summe_{k=1}^{n}[/mm]
> | [mm]z_{n,k}-z_{n,k-1}[/mm] |
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> a) Interpretieren Sie [mm]L_{n}(x)[/mm] geometrisch.
> b) Zeigen Sie: [mm]L_{n}(x)[/mm] =2n sin(x/2n)
> c) Beweisen Sie: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} L_{n}(x)=x[/mm]
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> Hallo zusammen
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> Ich habe b) bereits umgeformt auf
>
> [mm]L_{n}(x)= \summe_{k=1}^{n}¦exp(k-1/2)ix/n¦\*¦exp(ix/2n)[/mm] -
> exp(-ix/2n)¦
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> weiss jetzt aber nicht wie ich 2nsin(x/2n) daraus bekomme.
> Im zweiten Teil steht der Ansatz von sin, aber was mache
> ich mit dem ersteren Betrag?
>
> Danke euch schon im voraus
Hallo.
Ich geb mal nen Hinweis...
Es ist [mm] $L_n(x)=\sum_{k=1}^{n}|e^{\frac{kix}{n}}-e^{\frac{(k-1)ix}{n}}|=\sum\underbrace{|e^{\frac{kix}{n}}|}_{=1}|1-e^{-\frac{x}{n}}|=\sum|1-e^{-\frac{ix}{n}}|$
[/mm]
Jetzt brauchst Du nochmal die Euler-Formel, Additionstheorem und bist fast fertig...
Ein Hinweis:
Wenn Du Dir die geometrische Interpretation ansiehst, ist die Formel geometrisch unmittelbar einsichtig.
Gruß,
Christian
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