Berechnung der Determinante < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:59 Di 27.04.2010 | | Autor: | pestaiia |
| Aufgabe | Für reelle Zahlen [mm] \lambda_1, \lambda_2,...,\lambda_n [/mm] berechne man die Determinante
[mm] \vmat{ 1-\lambda_1& -\lambda_2& -\lambda_3&...&-\lambda_n\\ -\lambda_1&1-\lambda_2&-\lambda_3&...&-\lambda_n\\-\lambda_1&-\lambda_2&1-\lambda_3&...&-\lambda_n\\...&...&...&...&...\\-\lambda_1&-\lambda_2&-\lambda_3&...&1-\lambda_n}
[/mm]
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Hallo!
Ich habe ein Problem bei folgender Aufgabe. Ich weiß welche verschiedenen Regeln es zum Berechnen von Determinanten gibt. Aber hier muss man die Determinate ganz allgemein berechnen. Weiß jemand wie das geht?
LG Pestaiia
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Hallo,
versuche die Matrix auf die Diagonalgestalt zu bringen.
Tipp: Gaußalgorithmus geschickt anwenden.
Grüße
ChopSuey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:32 Di 27.04.2010 | | Autor: | pestaiia |
Danke, das hab ich jetzt gemacht. Ich habe von jeder zeile die darauf folgende abgezogen. Und die n-te zeile minus die n-1-te zeile gerechnet.
dann stehen auf der Hauptdiagonalen nur 1er bis auf den ersten Eintrag. Da steht [mm] 1-\lambda_1 [/mm] Das heißt: det(A)= [mm] 1-\lambda_1. [/mm] Stimmt das?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:32 Di 27.04.2010 | | Autor: | luis52 |
Moin,
> Stimmt das?
Das *kann* nicht stimmen: Betrachte den Fall $n=2_$ ...
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:43 Di 27.04.2010 | | Autor: | pestaiia |
Oh, stimmt. die letzte zeile wird zu einer Nullzeile. Also ist die determinante =0, oder sehe ich das schon wieder falsch?
LG
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Hallo pestaiia,
> Oh, stimmt. die letzte zeile wird zu einer Nullzeile. Also
> ist die determinante =0, oder sehe ich das schon wieder
> falsch?
Ich erhalte keine Nullzeile.
Wenn du in der Ausgangsmatrix das (-1)-fache der letzten Zeile auf alle anderen Zeilen addierst, bekommst du:
$ [mm] \pmat{ 1& 0& 0&...&-1\\ 0&1&0&...&-1\\0&0&1&...&-1\\...&...&...&...&...\\-\lambda_1&-\lambda_2&-\lambda_3&...&1-\lambda_n} [/mm] $
Wenn du nun für [mm] $k=1,\ldots,n-1$ [/mm] noch das [mm] $\lambda_k$-fache [/mm] der k-ten Zeile auf die n-te Zeile addierst, bekommst du ...
$ [mm] \pmat{ 1& 0& 0&...&-1\\ 0&1&0&...&-1\\0&0&1&...&-1\\...&...&...&...&...\\0&0&0&...&1-\lambda_1-\lambda_2-\ldots-\lambda_n} [/mm] $
Also ...
> LG
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:22 Di 27.04.2010 | | Autor: | pestaiia |
Sorry, aber das verstehe ich nicht. So bekommst du doch keine obere bzw. untere Dreiecksmatrix. Die ich ja benötige um die determinante mithilfe der Diagonaleinträge zu berechnen.
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:47 Di 27.04.2010 | | Autor: | fred97 |
> Sorry, aber das verstehe ich nicht. So bekommst du doch
> keine obere bzw. untere Dreiecksmatrix.
Ist das
$ [mm] \pmat{ 1& 0& 0&...&-1\\ 0&1&0&...&-1\\0&0&1&...&-1\\...&...&...&...&...\\0&0&0&...&1-\lambda_1-\lambda_2-\ldots-\lambda_n} [/mm] $
denn keine solche ????
FRED
> Die ich ja
> benötige um die determinante mithilfe der
> Diagonaleinträge zu berechnen.
> LG
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Ich glaube man braucht die Gegendiagonale, die nimmst du dann und erschlägst damit dein lineares Algebra Heft...
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