Berechnung Wegintegral < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:02 Do 04.06.2009 | | Autor: | toivel |
Hallo,
wie berechne ich folgendes Wegintegral:
[mm] \integral_{re^{it}}^{}{\bruch{1}{x-c} dx},
[/mm]
wobei [mm] c\in\IR?
[/mm]
Ansatz:
[mm] \integral_{re^{it}}^{}{\bruch{1}{x-c} dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{2\pi}{\bruch{rie^{it}}{re^{it} - c} dt}.
[/mm]
Maple gibt mir
für r>c [mm] 2\pi*i,
[/mm]
für r=c undefined und
für r<c 0 aus.
Aber wie berechnet Maple das?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:32 Fr 05.06.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo,
>
> wie berechne ich folgendes Wegintegral:
>
> [mm]\integral_{re^{it}}^{}{\bruch{1}{x-c} dx},[/mm]
>
> wobei [mm]c\in\IR?[/mm]
>
> Ansatz:
>
> [mm]\integral_{re^{it}}^{}{\bruch{1}{x-c} dx}[/mm] =
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{rie^{it}}{re^{it} - c} dt}.[/mm]
So kannst du das natürlich machen, aber die Funktionentheorie gibt dir deutlich einfachere Methoden an die Hand.
>
> Maple gibt mir
>
> für r>c [mm]2\pi*i,[/mm]
Cauchysche Integralformel für den Spezialfall f(z) = 1.
> für r=c undefined und
Offensichtlich, da der Integrand an einem Punkt des Integrationsweges (x=c) nicht definiert ist.
> für r<c 0 aus.
Cauchyscher Integralsatz: der Integrand ist im Inneren des vom Integrationsweg begrenzten Gebietes holomorph, daher ist das Integral 0.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:24 Fr 05.06.2009 | | Autor: | toivel |
Hallo Rainer,
vielen Dank für die Antwort. Daß es mit den genannten funktionentheoretischen Ansätzen wesentlich leichter geht ist mir klar. Mich würde aber interessieren wie der Rechenweg mit meinem Ansatz wäre. Damit bekomme ich leider nicht die Ergebnisse von Maple. Ich habe extra ein leichtes Beispiel gewählt, aber es gibt doch sicherlich auch Funktionen in denen Cauchysche Integralformel bzw. Cauchyscher Integralsatz nicht anwendbar sind?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:30 Fr 05.06.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> vielen Dank für die Antwort. Daß es mit den genannten
> funktionentheoretischen Ansätzen wesentlich leichter geht
> ist mir klar. Mich würde aber interessieren wie der
> Rechenweg mit meinem Ansatz wäre. Damit bekomme ich leider
> nicht die Ergebnisse von Maple. Ich habe extra ein leichtes
> Beispiel gewählt, aber es gibt doch sicherlich auch
> Funktionen in denen Cauchysche Integralformel bzw.
> Cauchyscher Integralsatz nicht anwendbar sind?
Sicher.
Für die Bestimmung des Integrals machst du am besten den Nenner reell:
[mm] \bruch{rie^{it}}{re^{it} - c} = \bruch{-cr\sin t+i(cr\cos t-r^2)}{2cr\cos t -r^2-c^2} [/mm]
Das Integral über den Realteil ist einfach, da die Funktion ungerade ist und damit das Integral über eine ganze Periode 0 ist.
Das Integral über den Imaginärteil lässt sich auch mit dieser Subsitution angehen, ist aber deutlich mühsamer auszurechnen. Insbesondere musst du sehr aufpassen, wenn du die Grenzen einsetzt, dass du nicht sofort 0 herausbekommst. Das liegt daran, dass die Stammfunktion je nach Darstellung einen [mm] $\arctan$ [/mm] oder [mm] $\arcsin$ [/mm] enthält, und der nur Werte in einem Intervall der Länge [mm] $\pi$ [/mm] annehmen kann. Besser ist es, auszunutzen, dass der Integrand gerade ist und daher
[mm]\integral_0^{2\pi} \bruch{cr\cos t-r^2}{2cr\cos t -r^2-c^2} dt = 2 \integral_0^{\pi} \bruch{cr\cos t-r^2}{2cr\cos t -r^2-c^2} dt [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:27 Sa 06.06.2009 | | Autor: | toivel |
Genau das ist das Problem, ich bekomme den Imaginärteil nicht integriert. Auch Deine Aufteilung des Integrals vereinfacht mir das Problem nicht.
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Hallo toivel,
> Genau das ist das Problem, ich bekomme den Imaginärteil
> nicht integriert. Auch Deine Aufteilung des Integrals
> vereinfacht mir das Problem nicht.
Hier hilft die Substitution
[mm]\tan\left(\bruch{t}{2}\right)=u \Rightarrow dt = \bruch{2}{1+u^{2}} \ du[/mm]
Dann ist
[mm]\cos\left(t\right)=\bruch{1-u^{2}}{1+u^{2}}[/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:52 Mo 08.06.2009 | | Autor: | toivel |
Hallo,
die o.g. Substitution führt für das unbestimmte Integral zu einer Lösung. Für die Integrationsgrenzen 0 bis [mm] \pi [/mm] bzw. 0 bis [mm] 2\pi [/mm] funktioniert das Integrieren aber nicht. Wie muß meine neuen Integrationsgrenzen beim Substituieren wählen?
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Hallo toivel,
> Hallo,
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> die o.g. Substitution führt für das unbestimmte Integral zu
> einer Lösung. Für die Integrationsgrenzen 0 bis [mm]\pi[/mm] bzw. 0
> bis [mm]2\pi[/mm] funktioniert das Integrieren aber nicht. Wie muß
> meine neuen Integrationsgrenzen beim Substituieren wählen?
Schreibe zunächst den Integranden etwas um:
[mm]\integral_0^{\pi} \bruch{cr\cos t-r^2}{2cr\cos t -r^2-c^2} dt=\integral_{0}^{\pi}c_{1}+c_{2}*\bruch{1}{2cr\cos t -r^2-c^2} \ dt[/mm]
Auf den Bruch wendest Du nun die Substitution an:
[mm]\integral_{0}^{\pi}c_{2}*\bruch{1}{2cr\cos t -r^2-c^2} \ dt[/mm]
Dann ergeben sich die neuen Grenzen zu
[mm]u_{2}=\tan\left(\bruch{\pi}{2}\right)[/mm]
[mm]u_{1}=\tan\left(\bruch{0}{2}\right)=0[/mm]
Demnach lautet das jetzt zu berechnende Integral:
[mm]\integral_{u_{1}}^{u_{2}}c_{2}*\bruch{1}{2cr\bruch{1-u^{2}}{1+u^{2}} -r^2-c^2} \bruch{2}{1+u^{2}}\ du[/mm]
[mm]=\integral_{0}^{\infty}c_{2}*\bruch{1}{2cr\bruch{1-u^{2}}{1+u^{2}} -r^2-c^2} \bruch{2}{1+u^{2}}\ du[/mm]
[mm]=\integral_{0}^{\infty}c_{2}*\bruch{2}{2cr\left(1-u^{2}\right) -\left(r^2+c^2\right)*\left(1+u^{2}\right)} \ du[/mm]
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:31 Mo 08.06.2009 | | Autor: | toivel |
Vielen Dank!!!
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