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| Aufgabe | (a) Wie viele Rosinen müssen in 500g Teig vorhanden sein, damit ein 50g Brötchen mit mindestens 99% Wahrscheinlichkeit eine Rosine enthält?
!Vollständige Formulierung und Begründung des wahrscheinlichkeitstheoretischen Modells! |
Hallo!
Ich habe einige Fragen zu meinen Ideen der Aufgabe.
Zunächst bin ich mir nicht ganz sicher, was eigentlich ein wahrscheinlichkeitstheoretisches Modell ist. Ich vermute aber, dass damit gemeint ist, ich soll den Ergebnisraum [mm] \Omega, [/mm] den Ereignisraum [mm] \mathcal{P}(\Omega) [/mm] und die Wahrscheinlichkeitsverteilung [mm] \IP [/mm] angeben (sowie, wie [mm] \IP [/mm] überhaupt verteilt ist)?
Für diese Aufgabe wählte ich die Binomial-Verteilung als Modell. Dabei ging ich davon aus, dass die Phrase "mindestens 99% Wahrscheinlichkeit eine Rosine enthält" auch mehrere Rosinen zulässt (?).
Die Wahrscheinlichkeit, dass wenn genau eine Rosine in 500g Teig ist, sie auch in dem ganz speziellen 50g-Brötchen ist, beträgt [mm] \frac{1}{10}.
[/mm]
Die Anzahl der Rosinen N im 500g-Teig ist unbekannt. Also ist:
[mm] $\Omega [/mm] = [mm] \{1,...,N\}$
[/mm]
[mm] $\IP(k) [/mm] = [mm] \vektor{N\\k}*\left(\frac{1}{10}\right)^{k}*\left(\frac{9}{10}\right)^{N-k}$
[/mm]
Ist das so richtig?
Dann würde ich vom Gegenereignis ausgehen "0 Rosinen kommen im speziellen 50g-Brötchen vor":
$0.99 = [mm] \sum_{k=1}^{n}\IP(k) [/mm] = 1 - [mm] \IP(0) [/mm] = [mm] 1-\vektor{N\\0}*\left(\frac{1}{10}\right)^{0}*\left(\frac{9}{10}\right)^{N} [/mm] = 1 - [mm] \left(\frac{9}{10}\right)^{N}$.
[/mm]
Also $0.01 = [mm] \left(\frac{9}{10}\right)^{N}\gdw [/mm] N = 43.7$, also müssen mindesten 44 Rosinen im 500g-Teig sein.
Ist das richtig, oder war meine Annahme dass p = 1/10 für eine Rosine im Brötchen nicht gerechtfertigt?
Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:56 So 18.10.2009 | | Autor: | koepper |
Hallo Stefan,
> (a) Wie viele Rosinen müssen in 500g Teig vorhanden sein,
> damit ein 50g Brötchen mit mindestens 99%
> Wahrscheinlichkeit eine Rosine enthält?
> !Vollständige Formulierung und Begründung des
> wahrscheinlichkeitstheoretischen Modells!
> Hallo!
>
> Ich habe einige Fragen zu meinen Ideen der Aufgabe.
>
> Zunächst bin ich mir nicht ganz sicher, was eigentlich ein
> wahrscheinlichkeitstheoretisches Modell ist. Ich vermute
> aber, dass damit gemeint ist, ich soll den Ergebnisraum
> [mm]\Omega,[/mm] den Ereignisraum [mm]\mathcal{P}(\Omega)[/mm] und die
> Wahrscheinlichkeitsverteilung [mm]\IP[/mm] angeben (sowie, wie [mm]\IP[/mm]
> überhaupt verteilt ist)?
>
> Für diese Aufgabe wählte ich die Binomial-Verteilung als
> Modell. Dabei ging ich davon aus, dass die Phrase
> "mindestens 99% Wahrscheinlichkeit eine Rosine enthält"
> auch mehrere Rosinen zulässt (?).
ja! ansonsten hätte es in der Aufgabe "genau eine Rosine" heissen müssen.
> Die Wahrscheinlichkeit, dass wenn genau eine Rosine in
> 500g Teig ist, sie auch in dem ganz speziellen
> 50g-Brötchen ist, beträgt [mm]\frac{1}{10}.[/mm]
genau.
> Die Anzahl der Rosinen N im 500g-Teig ist unbekannt. Also
> ist:
>
> [mm]\Omega = \{1,...,N\}[/mm]
[mm] $\Omega$ [/mm] ist die Ergebnismenge des Experimentes, also die möglichen Anzahlen von Rosinen, die tatsächlich im ausgewählten Brötchen sind.
Also [mm] $\Omega [/mm] = [mm] \{0, 1, \ldots, N\}$
[/mm]
> [mm]\IP(k) = \vektor{N\\k}*\left(\frac{1}{10}\right)^{k}*\left(\frac{9}{10}\right)^{N-k}[/mm]
>
> Ist das so richtig?
wenn das die Wsk. für genau k Rosinen im Brötchen sein soll, dann ja!
> Dann würde ich vom Gegenereignis ausgehen "0 Rosinen
> kommen im speziellen 50g-Brötchen vor":
>
> [mm]0.99 = \sum_{k=1}^{n}\IP(k) = 1 - \IP(0) = 1-\vektor{N\\0}*\left(\frac{1}{10}\right)^{0}*\left(\frac{9}{10}\right)^{N} = 1 - \left(\frac{9}{10}\right)^{N}[/mm].
>
> Also [mm]0.01 = \left(\frac{9}{10}\right)^{N}\gdw N = 43.7[/mm],
> also müssen mindesten 44 Rosinen im 500g-Teig sein.
korrekt.
LG
Will
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Ok,
vielen Dank für deine Korrektur und deine Hinweise, Will 
Bei der Ergebnismenge hatte ich doch tatsächlich die 0 vergessen!
Grüße,
Stefan
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