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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:02 So 04.07.2010 | | Autor: | Marcel08 |
Hallo!
Berechnet werden soll die Taylorrihe der folgenden Funktion:
[mm] f(x)=\wurzel{1+x}. [/mm]
Die Musterlösung gibt als Taylorreihe diesen Ausdruck an:
[mm] \wurzel{1+x}=1+\bruch{1}{2}x+O(x^{2}), [/mm] |x|<<1
Die Berechnung der ersten beiden Summanden ist klar. Dazu bilde ich die erste Ableitung und wähle als Entwicklungspunkt den Koordinatenursprung. Durch Einsetzen in die allgemeine Fassung der Taylorreihe erhalte ich die ersten beiden Summanden.
Gemäß diesem Verfahren würde ich für den Ausdruck [mm] O(x^{2}), [/mm] welcher den dritten Summanden darstellt, den Ausdruck
[mm] -\bruch{1}{8}x^{2} [/mm] erhalten.
Meine Frage:
Wofür steht der Ausdruck [mm] O(x^{2}) [/mm] und wie erhalte ich ihn? Stellt dieser Ausdruck möglicherweise ein Restglied dar? Das Zeichen O ist doch auch ein Symbol für den Koordinatenursprung, oder nicht? Zumindest finde ich dieses Zeichen bei der Darstellung von ortsabhängigen Vektoren wieder.
Über eine hilfreiche Antwort würde ich mich freuen.
Gruß, Marcel
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Hallo!
> Berechnet werden soll die Taylorrihe der folgenden
> Funktion:
> [mm]f(x)=\wurzel{1+x}.[/mm]
> Die Musterlösung gibt als Taylorreihe diesen Ausdruck an:
> [mm]\wurzel{1+x}=1+\bruch{1}{2}x+O(x^{2}),[/mm] |x|<<1
> Gemäß diesem Verfahren würde ich für den Ausdruck
> [mm]O(x^{2}),[/mm] welcher den dritten Summanden darstellt, den
> Ausdruck
>
>
> [mm]-\bruch{1}{8}x^{2}[/mm] erhalten.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Meine Frage:
>
>
> Wofür steht der Ausdruck [mm]O(x^{2})[/mm] und wie erhalte ich ihn?
> Stellt dieser Ausdruck möglicherweise ein Restglied dar?
> Das Zeichen O ist doch auch ein Symbol für den
> Koordinatenursprung, oder nicht? Zumindest finde ich dieses
> Zeichen bei der Darstellung von ortsabhängigen Vektoren
> wieder.
Das "O" steht für ein ![[]](/images/popup.gif) Landau-Symbol.
Es bedeutet in diesem Kontext: [mm] \sqrt{1+x} [/mm] = [mm] 1+\frac{1}{2}*x [/mm] + Terme, die für x nahe bei 0 ungefähr so schnell wachsend wie [mm] x^{2}.
[/mm]
Dass man das behaupten darf, liegt darin begründet, dass [mm] x^{3},x^{4} [/mm] usw. für [mm] x\to [/mm] 0 natürlich viel schneller gegen 0 gehen als [mm] x^{2}, [/mm] d.h. für x nahe Null kann man den ganzen Schwanz [mm] a*x^{2}+b*x^{3}+c*x^{4} [/mm] + ... im Wesentlichen durch [mm] x^{2} [/mm] approximieren.
--------
Wenn die Aufgabe wirklich heißt: "Berechnen Sie die Taylor-Reihe!", wäre die Musterlösung falsch, denn das angegebene ist ja keine Taylor-Reihe sondern höchstens eine Approximation davon. Ist das die originale Aufgabenstellung? (In der Numerik braucht man meistens nur Approximationen, dort käme auch so eine Musterlösung her, aber selbst dann müsste die Aufgabenstellung anders formuliert sein)
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:26 So 04.07.2010 | | Autor: | Marcel08 |
Hallo!
> Hallo!
>
> > Berechnet werden soll die Taylorrihe der folgenden
> > Funktion:
> > [mm]f(x)=\wurzel{1+x}.[/mm]
>
> > Die Musterlösung gibt als Taylorreihe diesen Ausdruck an:
> > [mm]\wurzel{1+x}=1+\bruch{1}{2}x+O(x^{2}),[/mm] |x|<<1
>
> > Gemäß diesem Verfahren würde ich für den Ausdruck
> > [mm]O(x^{2}),[/mm] welcher den dritten Summanden darstellt, den
> > Ausdruck
> >
> >
> > [mm]-\bruch{1}{8}x^{2}[/mm] erhalten.
>
>
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>
> > Meine Frage:
> >
> >
> > Wofür steht der Ausdruck [mm]O(x^{2})[/mm] und wie erhalte ich ihn?
> > Stellt dieser Ausdruck möglicherweise ein Restglied dar?
> > Das Zeichen O ist doch auch ein Symbol für den
> > Koordinatenursprung, oder nicht? Zumindest finde ich dieses
> > Zeichen bei der Darstellung von ortsabhängigen Vektoren
> > wieder.
>
> Das "O" steht für ein
> Landau-Symbol.
> Es bedeutet in diesem Kontext: [mm]\sqrt{1+x}[/mm] =
> [mm]1+\frac{1}{2}*x[/mm] + Terme, die für x nahe bei 0 ungefähr so
> schnell wachsend wie [mm]x^{2}.[/mm]
>
> Dass man das behaupten darf, liegt darin begründet, dass
> [mm]x^{3},x^{4}[/mm] usw. für [mm]x\to[/mm] 0 natürlich viel schneller
> gegen 0 gehen als [mm]x^{2},[/mm] d.h. für x nahe Null kann man den
> ganzen Schwanz [mm]a*x^{2}+b*x^{3}+c*x^{4}[/mm] + ... im
> Wesentlichen durch [mm]x^{2}[/mm] approximieren.
Ja vielen Dank. Wieder mal was dazu gelernt.
> Wenn die Aufgabe wirklich heißt: "Berechnen Sie die
> Taylor-Reihe!", wäre die Musterlösung falsch, denn das
> angegebene ist ja keine Taylor-Reihe sondern höchstens
> eine Approximation davon. Ist das die originale
> Aufgabenstellung? (In der Numerik braucht man meistens nur
> Approximationen, dort käme auch so eine Musterlösung her,
> aber selbst dann müsste die Aufgabenstellung anders
> formuliert sein)
Das habe ich wohl etwas ungeschickt formuliert. Es soll an dieser Stelle das Dämpfungsverhalten einer Feldgröße aus der Elektrotechnik betrachtet werden. Im weiteren Verlauf der Musterlösung wird dann in der Tat lediglich eine Näherung angegeben. Vielen Dank
Gruß, Marcel
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