Berechnung Kurvenintegral < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:14 Di 22.09.2015 | | Autor: | Pia90 |
Hallo zusammen,
ich lerne gerade für eine Prüfung im Modul Analysis und brüte gerade über den Kurvenintegralen. Genau genommen stehe ich gerade bei einem Berechnungsschritt auf dem Schlauch.
Es geht um ein Beispiel und zwar wird der Weg [mm] \gamma:[0,\pi] \to \IC, [/mm] t [mm] \mapsto re^{it} [/mm] mit [mm] \gamma(0)=r [/mm] und [mm] \gamma(\pi)=-r [/mm] betrachtet.
Es soll nun [mm] \integral_{\gamma}^{}{|z| dz} [/mm] berechnet werden.
Also [mm] \integral_{\gamma}^{}{|z| dz} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{\pi}{|re^{it}|ire^{it} dt}
[/mm]
Soweit kann ich das auch noch nachvollziehen! Allerdings soll das nun [mm] =r^2 e^{it} [/mm] in den Grenzen 0 und [mm] \pi [/mm] sein. Wie kommt man hier auf diese Stammfunktion?
Ich habe es auf den "Rückwärtsweg" versucht und [mm] r^2 e^{it} [/mm] abgeleitet. Das würde aber doch dann [mm] r^2 [/mm] * [mm] i*e^{it} [/mm] geben.
[mm] \integral_{0}^{\pi}{|re^{it}|ire^{it} dt} [/mm] ist aber doch gleich [mm] \integral_{0}^{\pi}{ir^2*e^{2it} dt}, [/mm] oder?
Es ist eigentlich nur so eine Kleinigkeit, aber ich finde gerade meinen eigenen Denkfehler nicht....
Blickt jemand von euch da durch und kann mir weiterhelfen?
Vielen Dank im Voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:57 Di 22.09.2015 | | Autor: | fred97 |
Wegen [mm] |e^{it}|=1 [/mm] für alle t [mm] \in \IR [/mm] ist
[mm] $|re^{it}|=r|e^{it}|=r.$
[/mm]
Es folgt
$ [mm] \integral_{0}^{\pi}{|re^{it}|ire^{it} dt} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{\pi}{r^2ie^{it} dt}$.
[/mm]
Sei [mm] $f(t):=ie^{it}$. [/mm] Eine Stammfunktion von f ist gegeben durch
[mm] $F(t)=e^{it}$,
[/mm]
somit haben wir
$ [mm] \integral_{0}^{\pi}{|re^{it}|ire^{it} dt} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{\pi}{r^2ie^{it} dt}=[r^2e^{it}]_0^{\pi}$.
[/mm]
Dein Fehler war
[mm] $|re^{it}|=re^{it}.$
[/mm]
Für die "meisten" t ist das falsch !
(Für welche t stimmts denn ?)
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:13 Di 22.09.2015 | | Autor: | Pia90 |
Vielen Dank für die Hilfe! Jetzt klappt es :) Dass [mm] |e^{it}|=1 [/mm] ist, war mir entfallen, aber damit macht das Beispiel endlich auch Sinn! Vielen Dank!
[mm] |re^{it}|=re^{it}, [/mm] wäre für t=0 der Fall.
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