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| Aufgabe | Schreibe als Integralfunktionen mit geeigneter unterer Integrationsgrenze a:
b) f(x) = [mm] \bruch{3}{2}\pi [/mm] + x*sin(x) |
heute bin ich echt am verzweifeln :(
Ich habe folgende Idee:
Wenn man etwas ableitet und danach wieder integriert, kommt ja das gleiche wieder raus.
deshalb habe ich folgendes geschrieben:
f(x) = [mm] \integral_{a}^{x}{\left(sin(t) + t * cos(t)\right) dt}
[/mm]
dieses [mm] \left(sin(t) + t * cos(t)\right) [/mm] ist also die Ableitung von [mm] \bruch{3}{2}\pi [/mm] + x*sin(x).
Ich hoffe ich hab richtig abgeleitet^^
und wenn ich das nun wieder integriere, sollte doch die ursprüngliche Fkt. wieder rauskommen?!
dann habe ich weiter gerechnet:
[mm] \left[sin(t) + t * cos(t)\right]_{a}^{x}
[/mm]
und dann eben weiter:
(sin(x) + x * cos(x)) - (sin(a) + a * cos(a))
und nun hatte ich gedacht, ich kann das irgendwie nach a auflößen, aber das klappt iwie nicht. Ist mein Gedankengang komplett falsch oder hat jemand nen kleenen Tipp für mich?
Mfg, Michael
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Hallo DjHighlife,
> Schreibe als Integralfunktionen mit geeigneter unterer
> Integrationsgrenze a:
>
> b) f(x) = [mm]\bruch{3}{2}\pi[/mm] + x*sin(x)
> heute bin ich echt am verzweifeln :(
>
> Ich habe folgende Idee:
> Wenn man etwas ableitet und danach wieder integriert,
> kommt ja das gleiche wieder raus.
>
> deshalb habe ich folgendes geschrieben:
>
> f(x) = [mm]\integral_{a}^{x}{\left(sin(t) + t * cos(t)\right) dt}[/mm]
>
> dieses [mm]\left(sin(t) + t * cos(t)\right)[/mm] ist also die
> Ableitung von [mm]\bruch{3}{2}\pi[/mm] + x*sin(x).
> Ich hoffe ich hab richtig abgeleitet^^
> und wenn ich das nun wieder integriere, sollte doch die
> ursprüngliche Fkt. wieder rauskommen?!
>
> dann habe ich weiter gerechnet:
>
> [mm]\left[sin(t) + t * cos(t)\right]_{a}^{x}[/mm]
>
> und dann eben weiter:
>
hier steckt der Fehler:
du musst die beiden Summanden einzeln integrieren und bei dem Produkt [mm] x*\cos(x) [/mm] aufpassen!
> (sin(x) + x * cos(x)) - (sin(a) + a * cos(a))![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
du solltest [mm] x*\sin(x)-a*\sin(a) [/mm] erhalten und mit [mm] \bruch{3}{2}\pi+x*sin(x) [/mm] vergleichen ...
Beachte die  Integrationsregel, Beispiel dort...
>
> und nun hatte ich gedacht, ich kann das irgendwie nach a
> auflößen, aber das klappt iwie nicht. Ist mein Gedankengang
> komplett falsch oder hat jemand nen kleenen Tipp für mich?
>
> Mfg, Michael
Gruß informix
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ok, also teile ich auf:
[mm] \integral_{a}^{x}{sin(t) dt} [/mm] + [mm] \integral_{a}^{x}{t * cos(t) dt}
[/mm]
und dann:
[mm] \left[-cos(t)\right]_{a}^{x} [/mm] + ?
nun brauch ich ja wiederum eine Fkt, die abgeleitet: t * cos(t) ergibt, also die Stammfkt.
Nur wie finde ich die?
Hilft mir da der HDI weiter? Leider machen wir diesen Typ von Aufgaben erst seit kurzem
mfg, Michael
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Ok, die Integrale zu berechnen ist im Prinzip nicht weiter schwer:
[mm] \integral_{a}^{x}{sin(t) dt}=-cos(x)+cos(a)
[/mm]
[mm] \integral_{a}^{x}{t*cos(t) dt} [/mm] löst du mit partieller Integration. d.h du wählst einen Teil der Funktion als U(t) und einen als V'(t), dann gilt:
[mm] \integral_{a}^{b}{U(t)*V'(t) dt}=U(t)*V(t)-\integral_{a}^{b}{U'(t)*V(t) dt}
[/mm]
Du wählst U und V so, dass das Integral möglichst einfach wird:
U=t U'=1
V'=cos(t) V=sin(t)
=> [mm] t*sin(t)|_{a}^{x}-\integral_{a}^{x}{sin(t) dt}
[/mm]
[mm] =>xsin(x)-asin(a)-(-cos(t)|_{a}^{x})
[/mm]
=>xsin(x)-asin(a)+cos(x)-cos(a)
Dazu addierst du jetzt noch dein erstes Integral und bekommst:
f(x)=xsin(x)-a(sina)
Da [mm] -asin(a)=\bruch{3}{2}*\pi [/mm] sein muss ist [mm] a=\bruch{3}{2}\pi
[/mm]
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> Ok, die Integrale zu berechnen ist im Prinzip nicht weiter
> schwer:
>
> [mm]\integral_{a}^{x}{sin(t) dt}=-cos(x)+cos(a)[/mm]
>
> [mm]\integral_{a}^{x}{t*cos(t) dt}[/mm] löst du mit partieller
> Integration. d.h du wählst einen Teil der Funktion als U(t)
> und einen als V'(t), dann gilt:
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{U(t)*V'(t) dt}=U(t)*V(t)-\integral_{a}^{b}{U'(t)*V(t) dt}[/mm]
>
> Du wählst U und V so, dass das Integral möglichst einfach
> wird:
>
> U=t U'=1
> V'=cos(t) V=sin(t)
>
> => [mm]t*sin(t)|_{a}^{x}-\integral_{a}^{x}{sin(t) dt}[/mm]
>
> [mm]=>xsin(x)-asin(a)-(-cos(t)|_{a}^{x})[/mm]
> =>xsin(x)-asin(a)+cos(x)-cos(a)
>
> Dazu addierst du jetzt noch dein erstes Integral und
> bekommst:
>
> f(x)=xsin(x)-a(sina)
>
Ok, verstehe ich nun alles bis hierhin:
> Da [mm]-asin(a)=\bruch{3}{2}*\pi[/mm] sein muss ist
> [mm]a=\bruch{3}{2}\pi[/mm]
>
Woher weis ich, dass [mm] -asin(a)=\bruch{3}{2}*\pi [/mm] sein muss?
Und wenn ich es weiß, wie löße ich dann nach a auf?
mfg, michael
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:12 Mi 17.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Michael!
> Woher weis ich, dass [mm]-asin(a)=\bruch{3}{2}*\pi[/mm] sein muss?
Das ergibt sich aus der aufgabenstellung, da ja einer der beiden Terme genau [mm] $\bruch{3}{2}\pi$ [/mm] ergeben muss. Und dafür bleibt nun nur [mm] $-a*\sin(a)$ [/mm] .
> Und wenn ich es weiß, wie löße ich dann nach a auf?
Du hast ja schon einen ganz guten Ansatz aus dem gegebenen Wert.
Bedenke, dass gilt: [mm] $\sin\left(\bruch{3}{2}\pi\right) [/mm] \ = \ -1$ .
Gruß
Loddar
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