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Forum "Integralrechnung" - Berechnung Int.grenze
Berechnung Int.grenze < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Berechnung Int.grenze: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:57 Di 16.12.2008
Autor: DjHighlife

Aufgabe
Schreibe als Integralfunktionen mit geeigneter unterer Integrationsgrenze a:

b) f(x) = [mm] \bruch{3}{2}\pi [/mm] + x*sin(x)

heute bin ich echt am verzweifeln :(

Ich habe folgende Idee:
Wenn man etwas ableitet und danach wieder integriert, kommt ja das gleiche wieder raus.

deshalb habe ich folgendes geschrieben:

f(x) = [mm] \integral_{a}^{x}{\left(sin(t) + t * cos(t)\right) dt} [/mm]

dieses [mm] \left(sin(t) + t * cos(t)\right) [/mm] ist also die Ableitung von [mm] \bruch{3}{2}\pi [/mm] + x*sin(x).
Ich hoffe ich hab richtig abgeleitet^^
und wenn ich das nun wieder integriere, sollte doch die ursprüngliche Fkt. wieder rauskommen?!

dann habe ich weiter gerechnet:

[mm] \left[sin(t) + t * cos(t)\right]_{a}^{x} [/mm]

und dann eben weiter:

(sin(x) + x * cos(x)) - (sin(a) + a * cos(a))

und nun hatte ich gedacht, ich kann das irgendwie nach a auflößen, aber das klappt iwie nicht. Ist mein Gedankengang komplett falsch oder hat jemand nen kleenen Tipp für mich?

Mfg, Michael

        
Bezug
Berechnung Int.grenze: Integrationsregeln beachten
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:12 Di 16.12.2008
Autor: informix

Hallo DjHighlife,

> Schreibe als Integralfunktionen mit geeigneter unterer
> Integrationsgrenze a:
>  
> b) f(x) = [mm]\bruch{3}{2}\pi[/mm] + x*sin(x)
>  heute bin ich echt am verzweifeln :(
>  
> Ich habe folgende Idee:
>  Wenn man etwas ableitet und danach wieder integriert,
> kommt ja das gleiche wieder raus.
>  
> deshalb habe ich folgendes geschrieben:
>  
> f(x) = [mm]\integral_{a}^{x}{\left(sin(t) + t * cos(t)\right) dt}[/mm]
>  
> dieses [mm]\left(sin(t) + t * cos(t)\right)[/mm] ist also die
> Ableitung von [mm]\bruch{3}{2}\pi[/mm] + x*sin(x).
>  Ich hoffe ich hab richtig abgeleitet^^
>  und wenn ich das nun wieder integriere, sollte doch die
> ursprüngliche Fkt. wieder rauskommen?!
>  
> dann habe ich weiter gerechnet:
>  
> [mm]\left[sin(t) + t * cos(t)\right]_{a}^{x}[/mm]
>  
> und dann eben weiter:
>  

hier steckt der Fehler:
du musst die beiden Summanden einzeln integrieren und bei dem Produkt [mm] x*\cos(x) [/mm] aufpassen!

> (sin(x) + x * cos(x)) - (sin(a) + a * cos(a))[notok]

du solltest [mm] x*\sin(x)-a*\sin(a) [/mm] erhalten und mit [mm] \bruch{3}{2}\pi+x*sin(x) [/mm] vergleichen ...

Beachte die MBIntegrationsregel, Beispiel dort...

>  
> und nun hatte ich gedacht, ich kann das irgendwie nach a
> auflößen, aber das klappt iwie nicht. Ist mein Gedankengang
> komplett falsch oder hat jemand nen kleenen Tipp für mich?
>  
> Mfg, Michael


Gruß informix

Bezug
                
Bezug
Berechnung Int.grenze: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:28 Di 16.12.2008
Autor: DjHighlife

ok, also teile ich auf:

[mm] \integral_{a}^{x}{sin(t) dt} [/mm] + [mm] \integral_{a}^{x}{t * cos(t) dt} [/mm]

und dann:

[mm] \left[-cos(t)\right]_{a}^{x} [/mm] + ?

nun brauch ich ja wiederum eine Fkt, die abgeleitet: t * cos(t) ergibt, also die Stammfkt.
Nur wie finde ich die?
Hilft mir da der HDI weiter? Leider machen wir diesen Typ von Aufgaben erst seit kurzem

mfg, Michael

Bezug
                        
Bezug
Berechnung Int.grenze: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:45 Di 16.12.2008
Autor: snp_Drake

Ok, die Integrale zu berechnen ist im Prinzip nicht weiter schwer:

[mm] \integral_{a}^{x}{sin(t) dt}=-cos(x)+cos(a) [/mm]

[mm] \integral_{a}^{x}{t*cos(t) dt} [/mm] löst du mit partieller Integration. d.h du wählst einen Teil der Funktion als U(t) und einen als V'(t), dann gilt:

[mm] \integral_{a}^{b}{U(t)*V'(t) dt}=U(t)*V(t)-\integral_{a}^{b}{U'(t)*V(t) dt} [/mm]

Du wählst U und V so, dass das Integral möglichst einfach wird:

U=t  U'=1
V'=cos(t) V=sin(t)

=> [mm] t*sin(t)|_{a}^{x}-\integral_{a}^{x}{sin(t) dt} [/mm]
[mm] =>xsin(x)-asin(a)-(-cos(t)|_{a}^{x}) [/mm]
=>xsin(x)-asin(a)+cos(x)-cos(a)

Dazu addierst du jetzt noch dein erstes Integral und bekommst:

f(x)=xsin(x)-a(sina)

Da [mm] -asin(a)=\bruch{3}{2}*\pi [/mm] sein muss ist [mm] a=\bruch{3}{2}\pi [/mm]


Bezug
                                
Bezug
Berechnung Int.grenze: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:08 Mi 17.12.2008
Autor: DjHighlife


> Ok, die Integrale zu berechnen ist im Prinzip nicht weiter
> schwer:
>  
> [mm]\integral_{a}^{x}{sin(t) dt}=-cos(x)+cos(a)[/mm]
>  
> [mm]\integral_{a}^{x}{t*cos(t) dt}[/mm] löst du mit partieller
> Integration. d.h du wählst einen Teil der Funktion als U(t)
> und einen als V'(t), dann gilt:
>  
> [mm]\integral_{a}^{b}{U(t)*V'(t) dt}=U(t)*V(t)-\integral_{a}^{b}{U'(t)*V(t) dt}[/mm]
>  
> Du wählst U und V so, dass das Integral möglichst einfach
> wird:
>  
> U=t  U'=1
>  V'=cos(t) V=sin(t)
>  
> => [mm]t*sin(t)|_{a}^{x}-\integral_{a}^{x}{sin(t) dt}[/mm]
>  
> [mm]=>xsin(x)-asin(a)-(-cos(t)|_{a}^{x})[/mm]
>  =>xsin(x)-asin(a)+cos(x)-cos(a)
>  
> Dazu addierst du jetzt noch dein erstes Integral und
> bekommst:
>  
> f(x)=xsin(x)-a(sina)
>  

Ok, verstehe ich nun alles bis hierhin:

> Da [mm]-asin(a)=\bruch{3}{2}*\pi[/mm] sein muss ist
> [mm]a=\bruch{3}{2}\pi[/mm]
>  

Woher weis ich, dass [mm] -asin(a)=\bruch{3}{2}*\pi [/mm] sein muss?
Und wenn ich es weiß, wie löße ich dann nach a auf?

mfg, michael


Bezug
                                        
Bezug
Berechnung Int.grenze: siehe Aufgabenstellung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:12 Mi 17.12.2008
Autor: Loddar

Hallo Michael!


> Woher weis ich, dass [mm]-asin(a)=\bruch{3}{2}*\pi[/mm] sein muss?

Das ergibt sich aus der aufgabenstellung, da ja einer der beiden Terme genau [mm] $\bruch{3}{2}\pi$ [/mm] ergeben muss. Und dafür bleibt nun nur [mm] $-a*\sin(a)$ [/mm] .


> Und wenn ich es weiß, wie löße ich dann nach a auf?

Du hast ja schon einen ganz guten Ansatz aus dem gegebenen Wert.

Bedenke, dass gilt:  [mm] $\sin\left(\bruch{3}{2}\pi\right) [/mm] \ = \ -1$ .


Gruß
Loddar


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