Berechnung/Beweis einer Summe < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen Sie folgende Summen und beweisen Sie das Ergebnis per Induktion:
a) [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] i
b) [mm] \summe_{i=1}^{n} 2^{i} [/mm] |
Hallo zusammen,
mir stellt sich hier erstmal generell die Frage, was mit Berechnung der Summe gemeint ist. Da für n ja kein konkreter Wert gegeben ist, bin ich davon ausgegangen, dass ich für jede Summe eine allgemeingültige Formel angeben muss, mit der sich der entsprechende Wert für n berechnen lässt. Stimmt das so?
Die a) lässt sich mit Hilfe der Gaußschen Summenformel berechnen.
also: [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] i = [mm] \bruch{n(n+1)}{2}
[/mm]
Beweis per Induktion nach n:
Induktionsanfang:
n = 1
1 = [mm] \bruch{1(1+1)}{2}
[/mm]
1 = 1
nun für n+1:
[mm] \summe_{i=1}^{n+1} [/mm] i = [mm] \bruch{(n+1)((n+1)+1)}{2}
[/mm]
[mm] \gdw \summe_{i=1}^{n} [/mm] i + (n+1) = [mm] \bruch{(n+1)(n+2)}{2}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{n(n+1)}{2} [/mm] + [mm] \bruch{(n+1)2}{2} [/mm] = [mm] \bruch{n^{2} + 3n +2 }{2}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{n^{2} + 3n +2 }{2} [/mm] = [mm] \bruch{n^{2} + 3n +2 }{2} [/mm]
Ist das so richtig?
Nun zur b)
Einige meiner Mitstudenten meinen, dass es sich hierbei um eine geometrische Reihe handelt. Wieso? Meines Verständnisses nach, ist eine geometrische Reihe eine Reihe, bei der das n-te Glied, gleich der der ersten n Glieder der zugehörigen geometrischen Folge ist.
Am konkreten Fall für n = 5 würde das doch bedeuten:
[mm] 2^{5} [/mm] = [mm] 2^{4} [/mm] + [mm] 2^{3} [/mm] + [mm] 2^{2} [/mm] + [mm] 2^{1}
[/mm]
was aber nicht stimmt, da 32 ungleich 30.
Ich stattdessen habe mir folgendes überlegt:
[mm] \summe_{i=1}^{n} 2^{i} [/mm] = 2 + 4 + 8 + 16 + .... + [mm] 2^{n}
[/mm]
= 2(1 + 2 + 4 + 8 + [mm] 2^{n-1})
[/mm]
Nun habe ich etwas "rumprobiert" und bin auf die Formel [mm] 2(2^{n} [/mm] -1) gekommen. Diese hat auch für n= 5 und n = 10 das richtige Ergebnis geliefert. Den Beweis wollte ich erstmal hinten anstellen und auf Antworten von euch warten.
Danke schonmal,
Gruß
Martin
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:09 Fr 26.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Berechnen Sie folgende Summen und beweisen Sie das Ergebnis
> per Induktion:
>
> a) [mm]\summe_{i=1}^{n}[/mm] i
>
> b) [mm]\summe_{i=1}^{n} 2^{i}[/mm]
> Hallo zusammen,
>
> mir stellt sich hier erstmal generell die Frage, was mit
> Berechnung der Summe gemeint ist. Da für n ja kein
> konkreter Wert gegeben ist, bin ich davon ausgegangen, dass
> ich für jede Summe eine allgemeingültige Formel angeben
> muss, mit der sich der entsprechende Wert für n berechnen
> lässt. Stimmt das so?
Genau das!
> Die a) lässt sich mit Hilfe der Gaußschen Summenformel
> berechnen.
>
> also: [mm]\summe_{i=1}^{n}[/mm] i = [mm]\bruch{n(n+1)}{2}[/mm]
>
> Beweis per Induktion nach n:
>
> Induktionsanfang:
>
> n = 1
>
> 1 = [mm]\bruch{1(1+1)}{2}[/mm]
>
> 1 = 1
>
> nun für n+1:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n+1}[/mm] i = [mm]\bruch{(n+1)((n+1)+1)}{2}[/mm]
>
> [mm]\gdw \summe_{i=1}^{n}[/mm] i + (n+1) = [mm]\bruch{(n+1)(n+2)}{2}[/mm]
>
> [mm]\gdw \bruch{n(n+1)}{2}[/mm] + [mm]\bruch{(n+1)2}{2}[/mm] = [mm]\bruch{n^{2} + 3n +2 }{2}[/mm]
>
> [mm]\gdw \bruch{n^{2} + 3n +2 }{2}[/mm] = [mm]\bruch{n^{2} + 3n +2 }{2}[/mm]
>
> Ist das so richtig?
es ist nicht falsch, da in jeder Zeile nur Äquivalenzumformungen sind.
im Allgemeinen ist es besser, nicht die Behauptung umzuformen, sondern das Ergebnis, das man will aus der Ind. Vors herzuleiten. Die Rechenschritte sind dieselben.
also [mm] \summe_{i=1}^{n+1}[/mm] [/mm] i [mm] =\summe_{i=1}^{n}i [/mm] +(n+1)
jetzt di IndVors. einsetzen
[mm] =\bruch{n(n+1)}{2}+n+1 [/mm] das jetzt weiter wie dus gemacht hast.
>
> Nun zur b)
>
> Einige meiner Mitstudenten meinen, dass es sich hierbei um
> eine geometrische Reihe handelt. Wieso? Meines
> Verständnisses nach, ist eine geometrische Reihe eine
> Reihe, bei der das n-te Glied, gleich der der ersten n
> Glieder der zugehörigen geometrischen Folge ist.
nein. eine geometrische Reihe ist die Summe der Glieder einer geometrischen Folge, damit haben sie recht.
Ich glaub kaum, dass es das, was du bechrieben hast gibt.
> Am konkreten Fall für n = 5 würde das doch bedeuten:
>
> [mm]2^{5}[/mm] = [mm]2^{4}[/mm] + [mm]2^{3}[/mm] + [mm]2^{2}[/mm] + [mm]2^{1}[/mm]
>
> was aber nicht stimmt, da 32 ungleich 30.
klar.
> Ich stattdessen habe mir folgendes überlegt:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n} 2^{i}[/mm] = 2 + 4 + 8 + 16 + .... + [mm]2^{n}[/mm]
> = 2(1 + 2 + 4 + 8 + [mm]2^{n-1})[/mm]
>
> Nun habe ich etwas "rumprobiert" und bin auf die Formel
> [mm]2(2^{n}[/mm] -1) gekommen. Diese hat auch für n= 5 und n = 10
> das richtige Ergebnis geliefert. Den Beweis wollte ich
> erstmal hinten anstellen und auf Antworten von euch
> warten.
Deine erratene Formel ist richtig.
fängt die Summe in der Aufgabe wirklich mit 1 an? die "übliche" geometrische Reihe fängt bei i=0 an.
aber deine Idee mit dem Ausklammern ist auch ein Beweis für die Summe, wenn dus zu Ende führst:
nenne die Summe [mm]S_n\summe_{i=1}^{n} 2^{i}[/mm]
[mm] 1/2*S_n=\summe_{i=1}^{n} 2^{i-1}=\summe_{i=0}^{n-1} 2^{i}=\summe_{i=1}^{n} 2^{i} -2^n+1
[/mm]
hier hab ich die 1 die am Anfang von [mm] \summe_{i=1}^{n} 2^{i} [/mm] fehlt dazugetan, die [mm] 2^n [/mm] die am Ende zuviel ist abgezogen .
jetzt hab ich [mm] _1/2*S_n=S_n-2^n+1 [/mm] daraus [mm] 1/2S_n=2^n-1 [/mm] und
[mm] S_n=2*(2^n-1) [/mm] was du ja auch raus hast.
Weil der Prof das will musst dus nun trotzdem noch mit vollst. Induktion beweisen.
Gruss leduart
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