Berechnung Basis von Span 1/2 < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es seien
[mm] v_{1} [/mm] = (-2, -1, -2, [mm] -1)^T [/mm] , [mm] v_{2} [/mm] = (-1, -1, -1, [mm] -1)^T [/mm] , [mm] v_{3}= [/mm] (-2, -4, -3, [mm] -6)^T [/mm] , [mm] v_{4} [/mm] = (1, 2, 2, [mm] 4)^T
[/mm]
Vektoren des [mm] \IR^4 [/mm] . Berechne eine Basis von span [mm] (v_{1}, v_{2}) \cap [/mm] span [mm] (v_{1}, v_{2}) [/mm] . |
Hallo zusammen,
als erstes habe ich eine Verständnisfrage. Wenn ich die beiden Spänne habe und daraus eine Schnittmenge bilde dann ist diese meiner Meinung nach lehr, also
span [mm] (v_{1}, v_{2}) \cap [/mm] span [mm] (v_{1}, v_{2}) [/mm] = {0}
da die beiden linear unabhängig sind (was im weiteren ja auch wieder gut ist, da sie sonst keine Basis bilden könnten.
Also wie ist das denn nun zu verstehen??
Wenn ich dann weiterrechne und das ignoriere, nehme ich meine Spänne in eine Matrix [mm] A\in [/mm] M(4x4,K) und wende den Gaußalgorhythmus an bis ich die Matrix A durch elementare Zeilenumformungen in A^~ umgewandelt habe. Im (fast einzelnen sieht das dann so aus:
[mm] \pmat{ -2 & -1 & -2 & 1 \\ -1 & -1 & -4 & 2 \\ -2 & -1 & -3 & 2 \\ -1 & -1 & -6 & 4 } [/mm] (im Weiteren nur die Transformationen (von links) dokumentiert. <-> bedeutet Zeilenwechsel, Zeilen in römischen Ziffern angegeben, die erste Ziffer gibt die veränderte Zeile an.)
A [mm] (\to [/mm] IV -1/2 I) [mm] (\to [/mm] II - 1/2 I)(III - I) (IV <-> III)(III - II)(IV - 1/3 III)
= A^~ = [mm] \pmat{ -2 & -1 & -2 & 1 \\ 0 & - \bruch{1}{2} & 2 & \bruch{3}{2} \\ 0 & 0 & -3 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & \bruch{1}{3} } [/mm]
Diese transformierte Matrix gibt mir nun die Basis an mit ihren Basisvektoren:
[mm] v_{1} [/mm] = (-2, 0, 0, [mm] 0)^T [/mm] , [mm] v_{2} [/mm] = (-1, [mm] -\bruch{1}{2}, [/mm] 0, [mm] 0)^T [/mm] , [mm] v_{3}= [/mm] (-2, -2, -3, [mm] 0)^T [/mm] , [mm] v_{4} [/mm] = (1, [mm] \bruch{3}{2}, [/mm] 2, [mm] \bruch{1}{3})^T [/mm] (Alle mit "Schlange" drüber)
Stimmt das soweit?
Wenn nicht und wir nehmen an, dass der Span nich wie in der Aufgabenstellung beschrieben ist, sondern einfach nur aus den oben angegebenen Vektoren besteht, dann ist das schon die Basis, oder?
Grüße
Semi
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Moin,
> Es seien
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> [mm]v_{1}[/mm] = (-2, -1, -2, [mm]-1)^T[/mm] , [mm]v_{2}[/mm] = (-1, -1, -1, [mm]-1)^T[/mm] ,
> [mm]v_{3}=[/mm] (-2, -4, -3, [mm]-6)^T[/mm] , [mm]v_{4}[/mm] = (1, 2, 2, [mm]4)^T[/mm]
>
> Vektoren des [mm]\IR^4[/mm] . Berechne eine Basis von span [mm](v_{1}, v_{2}) \cap[/mm]
> span [mm](v_{1}, v_{2})[/mm] .
> Hallo zusammen,
> als erstes habe ich eine Verständnisfrage. Wenn ich die
> beiden Spänne habe und daraus eine Schnittmenge bilde dann
> ist diese meiner Meinung nach lehr, also
> span [mm](v_{1}, v_{2}) \cap[/mm] span [mm]\red{(v_{1}, v_{2})}[/mm] = {0}
Kann es sein, dass du die Schnittmenge von [mm] span(v_1,v_2) [/mm] und [mm] span(v_3, v_4) [/mm] meinst? Dann gilt, das der Schnitt nur 0 enthält, wenn du gezeigt hast, dass sie linear unabhängig sind.
> da die beiden linear unabhängig sind (was im weiteren ja
> auch wieder gut ist, da sie sonst keine Basis bilden
> könnten.
> Also wie ist das denn nun zu verstehen??
>
> Wenn ich dann weiterrechne und das ignoriere, nehme ich
> meine Spänne in eine Matrix [mm]A\in[/mm] M(4x4,K) und wende den
> Gaußalgorhythmus an bis ich die Matrix A durch elementare
> Zeilenumformungen in A^~ umgewandelt habe. Im (fast
> einzelnen sieht das dann so aus:
>
> [mm]\pmat{ -2 & -1 & -2 & 1 \\ -1 & -1 & -4 & 2 \\ -2 & -1 & -3 & 2 \\ -1 & -1 & -6 & 4 }[/mm]
> (im Weiteren nur die Transformationen (von links)
> dokumentiert. <-> bedeutet Zeilenwechsel, Zeilen in
> römischen Ziffern angegeben, die erste Ziffer gibt die
> veränderte Zeile an.)
>
> A [mm](\to[/mm] IV -1/2 I) [mm](\to[/mm] II - 1/2 I)(III - I) (IV <->
> III)(III - II)(IV - 1/3 III)
>
> = A^~ = [mm]\pmat{ -2 & -1 & -2 & 1 \\ 0 & - \bruch{1}{2} & 2 & \bruch{3}{2} \\ 0 & 0 & -3 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & \bruch{1}{3} }[/mm]
Ich vermute, hier hast du dich irgendwo verechnet. Wenn man die die erste Zeile 1/2 mal von der zweiten abzieht, kommt bei mir der Zeilenvektor [mm] (0,-\frac{1}{2}, [/mm] -3, [mm] \frac{3}{2}) [/mm] raus.
>
> Diese transformierte Matrix gibt mir nun die Basis an mit
> ihren Basisvektoren:
>
> [mm]v_{1}[/mm] = (-2, 0, 0, [mm]0)^T[/mm] , [mm]v_{2}[/mm] = (-1, [mm]-\bruch{1}{2},[/mm] 0,
> [mm]0)^T[/mm] , [mm]v_{3}=[/mm] (-2, -2, -3, [mm]0)^T[/mm] , [mm]v_{4}[/mm] = (1, [mm]\bruch{3}{2},[/mm]
> 2, [mm]\bruch{1}{3})^T[/mm] (Alle mit "Schlange" drüber)
>
> Stimmt das soweit?
> Wenn nicht und wir nehmen an, dass der Span nich wie in
> der Aufgabenstellung beschrieben ist, sondern einfach nur
> aus den oben angegebenen Vektoren besteht, dann ist das
> schon die Basis, oder?
Du sollst eine Basis des Schnitts berechnen, nicht eine des von allen Vektoren erzeugten Raums.
Deine Herangehensweise ist etwas speziell, da du davon ausgehst, das der Schnitt die Dimension Null hat.
Wie wäre es, wenn du im Allgemeinen die Gleichung [mm] $\lambda_1 v_1+\lambda_2 v_2=\lambda_3 v_3+\lambda_4 v_4$ [/mm] löst?
>
> Grüße
> Semi
Gruß
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Hi du,
Ja genau. Der Schnitt von [mm] Span(v_{1},v_{2}) [/mm] und [mm] Span(v_{3},v_{4}).
[/mm]
Bei meiner ersten Lösung (nicht gepostet) hab ich das so gemacht wie du geschrieben hast, wobei ich schrittweise vorgegangen bin und [mm] v_{1} [/mm] mit [mm] v_{3}, v_{1} [/mm] mit [mm] v_{4}... [/mm] verglichen habe.
Raus kam dabei, dass sie lin. unabhängig sind (daraus folgt, dass der Schnitt der 0-Vektor ist und der bildet ja wieder nur auf den Nullvektor ab weil es sich um eine lineare Abbildung handelt und somit injektiv ist), woraus folgt, dass die Basis von [mm] Span(v_{1},v_{2}) [/mm] und [mm] Span(v_{3},v_{4}) [/mm] ebenfalls 0 ist.
Ich rechne gerne nochmal nach aber das sieht man doch auch so wenn man die ersten 2 Zeilen der Vektoren miteinander vergleicht.
Irre ich mich?
Viele Grüße
Semi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:17 Di 22.02.2011 | | Autor: | kamaleonti |
Grüß dich,
> Hi du,
> Ja genau. Der Schnitt von [mm]Span(v_{1},v_{2})[/mm] und
> [mm]Span(v_{3},v_{4}).[/mm]
>
> Bei meiner ersten Lösung (nicht gepostet) hab ich das so
> gemacht wie du geschrieben hast, wobei ich schrittweise
> vorgegangen bin und [mm]v_{1}[/mm] mit [mm]v_{3}, v_{1}[/mm] mit [mm]v_{4}...[/mm] verglichen habe.
Genauer muss auch ausgeschlossen werden, dass [mm] v_1, v_2 [/mm] Linearkombinationen von beiden Vektoren [mm] v_3,v_4 [/mm] sind. Dass es nicht geht, sieht man auch hier schnell, wenn man sich mal zwei Komponenten anschaut. Schreibst du ja selbst unten, sollte aber angegeben werden.
>
> Raus kam dabei, dass sie lin. unabhängig sind (daraus
> folgt, dass der Schnitt der 0-Vektor ist und der bildet ja
> wieder nur auf den Nullvektor ab weil es sich um eine
> lineare Abbildung handelt und somit injektiv ist), woraus
> folgt, dass die Basis von [mm]Span(v_{1},v_{2})[/mm] und
> [mm]Span(v_{3},v_{4})[/mm] ebenfalls leer ist.
Jup.
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> Ich rechne gerne nochmal nach aber das sieht man doch auch
> so wenn man die ersten 2 Zeilen der Vektoren miteinander
> vergleicht.
> Irre ich mich?
Nein 
> Viele Grüße
> Semi
Gruß
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Hi du,
Danke für den Tipp. An die Linearkombinationen von [mm] v_{3},v_{4} [/mm] habe ich gar nicht gedacht. Die spannen ja schließlich zusammen einen Untervektorraum auf.
War also der Witz an der Aufgabe doch nur, dass die Basis aus dem 0-Vektor besteht.
Vielen Dank für deine schnelle und ausführliche Antwort!
Viele Grüße
Semi
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> War also der Witz an der Aufgabe doch nur, dass die Basis
> aus dem 0-Vektor besteht.
Hallo,
der Nullvektor ist in keiner Basis, denn er ist linear abhängig.
Gruß v. Angela
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