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Forum "Integralrechnung" - Berechnung
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Berechnung: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:46 Do 15.07.2010
Autor: dr_geissler

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Aufgabe
Berechne folgenden unbestimmten Integrale:
i) $\integral{\bruch{(1+x)^2}{\wurzel{x}} dx}$
ii) $\integral{(1-x)\wurzel[3]{x }dx}$
iii) $\integral{x\wurzel{x+9}dx}$

Lösung

i) \left[\bruch{2}{5}\wurzel{x^5}+\bruch{4}{3}\wurzel{x^3}+2\wurzel{x}\right]

ii) \left[\bruch{3}{4}\wurzel[3]{x^4}-\bruch{3}{7}\wurzel[3]{x^7}\right]

iii) Damit hab ich so meine Schwierigkeiten.

Ich hab es mit partieller Integration versucht.


$\integral{\wurzel{x+9}}=\left[x\wurzel{x+9}\right]-\integral{x\bruch{1}{2\wurzel{x+9}}$
$\left[\bruch{2}{3}\wurzel{(x+9)^3}\right]=\left[x\wurzel{x+9}\right]-\integral{x\bruch{1}{2\wurzel{x+9}}$
$\left[x\wurzel{x+9}-\bruch{2}{3}\wurzel{(x+9)^3}\right]=\integral{x\bruch{1}{2\wurzel{x+9}}$

Ist das soweit richtig??
Wie mach ich jetzt weiter??
        
Bezug
Berechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:56 Do 15.07.2010
Autor: schachuzipus

Hallo,

> Berechne folgenden unbestimmten Integrale:
>  i) [mm]\integral{\bruch{(1+x)^2}{\wurzel{x}} dx}[/mm]
>  ii)
> [mm]\integral{(1-x)\wurzel[3]{x }dx}[/mm]
>  iii)
> [mm]\integral{x\wurzel{x+9}dx}[/mm]
>  Lösung
>  
> i)
> [mm]\left[\bruch{2}{5}\wurzel{x^5}+\bruch{4}{3}\wurzel{x^3}+2\wurzel{x}\right][/mm] [ok]
>  
> ii)
> [mm]\left[\bruch{3}{4}\wurzel[3]{x^4}-\bruch{3}{7}\wurzel[3]{x^7}\right][/mm] [ok]

Das stimmt beides, wie du leicht selber durch Ableiten überprüfen kannst!

>  
> iii) Damit hab ich so meine Schwierigkeiten.
>  
> Ich hab es mit partieller Integration versucht. [ok]
>  
>
> [mm]\integral{\wurzel{x+9}}=\left[x\wurzel{x+9}\right]-\integral{x\bruch{1}{2\wurzel{x+9}}[/mm]

Ah, verteile die Rollen von $u'$ und $v$ genau andersherum.

Setze $v=x$, damit das beim Ableiten zu 1 wird.

Also [mm] $\int{u'(x)v(x) \ dx}=u(x)v(x)-\int{u(x)v'(x) \ dx}$ [/mm]

Hier mit [mm] $u'(x)=\sqrt{x+9}$ [/mm] und $v(x)=x$

>  
> [mm]\left[\bruch{2}{3}\wurzel{(x+9)^3}\right]=\left[x\wurzel{x+9}\right]-\integral{x\bruch{1}{2\wurzel{x+9}}[/mm]
>  
> [mm]\left[x\wurzel{x+9}-\bruch{2}{3}\wurzel{(x+9)^3}\right]=\integral{x\bruch{1}{2\wurzel{x+9}}[/mm]
>  
> Ist das soweit richtig??
>  Wie mach ich jetzt weiter??


Gruß

schachuzipus
Bezug
                
Bezug
Berechnung: iii)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:09 Do 15.07.2010
Autor: dr_geissler

Also so:


[mm] $\integral{x\wurzel{x+9}}=\left[\bruch{1}{2}x^2\wurzel{x+9}-\bruch{1}{2\wurzel{x+9}}\right]$ [/mm]

Stimmt das jetzt?
Bezug
                        
Bezug
Berechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:48 Do 15.07.2010
Autor: MathePower

Hallo dr_geissler,

> Also so:
>  
>
> [mm]\integral{x\wurzel{x+9}}=\left[\bruch{1}{2}x^2\wurzel{x+9}-\bruch{1}{2\wurzel{x+9}}\right][/mm]
>  
> Stimmt das jetzt?


Leider nein. [notok]


Gruss
MathePower
Bezug
                                
Bezug
Berechnung: erklärung/Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:57 Do 15.07.2010
Autor: dr_geissler

Ich gehe doch bei der partiellen integration doch davon aus, dass in meinem Fall [mm] u'=\wurzel{x+9} [/mm] und $v=x$ ist, oder??

Also

[mm] $\integral{x\wurzel{x+9}}=\left[x*\bruch{2}{3}\wurzel{(x+9)^3}\right]-\integral{\wurzel{x+9}}$ [/mm]

[mm] $\integral{x\wurzel{x+9}}=\left[x*\bruch{2}{3}\wurzel{(x+9)^3}-\bruch{1}{2\wurzel{x+9}}\right] [/mm] $

stimmt es jetzt???

Bezug
                                        
Bezug
Berechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:00 Do 15.07.2010
Autor: abakus


> Ich gehe doch bei der partiellen integration doch davon
> aus, dass in meinem Fall [mm]u'=\wurzel{x+9}[/mm] und [mm]v=x[/mm] ist,
> oder??
>  
> Also
>  
> [mm]\integral{x\wurzel{x+9}}=\left[x*\bruch{2}{3}\wurzel{(x+9)^3}\right]-\integral{\wurzel{x+9}}[/mm]
>  
> [mm]\integral{x\wurzel{x+9}}=\left[x*\bruch{2}{3}\wurzel{(x+9)^3}-\bruch{1}{2\wurzel{x+9}}\right][/mm]
>
> stimmt es jetzt???

Keine Ahnung. Leite ab, dann siehst du es.
Ich hätte es auf alle Fälle wesentlich kürzer mit der Substitution x+9=z gemacht.
Gruß Abakus
>  

Bezug
                                
Bezug
Berechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:22 Mi 21.07.2010
Autor: dr_geissler

Ist die Lösung

[mm] \left[x*\bruch{2}{3}\wurzel{(x+9)^3}-\bruch{4}{15}\wurzel{(x+9)^5}\right] [/mm]

???
Bezug
                                        
Bezug
Berechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:29 Mi 21.07.2010
Autor: fred97


> Ist die Lösung
>  
> [mm]\left[x*\bruch{2}{3}\wurzel{(x+9)^3}-\bruch{4}{15}\wurzel{(x+9)^5}\right][/mm]
>  
> ???

Ja

FRED

Bezug
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