Berechnun einer (6;6)-Determ. < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:13 So 02.06.2013 | | Autor: | bquadrat |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Determinante der Matrix U
[mm] U=\pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 4 & 8 & 16 & 32 \\ 1 & -2 & 4 & -8 & 16 & 32 \\ 1 & 3 & 9 & 27 & 81 & 243 \\ 1 & -3 & 9 & -27 & 81 & -243 }
[/mm]
Dies soll alleine über die Laplace-Entwicklungen passieren (das heißt wohl oder übel Abzüge bei der Anwendung der Regel von Sarrus oder anderen Regeln (zumal die Regel von Sarrus nur bei (3;3) oder "kleineren" Matrizen angewendet werden kann)). Sie sollten dabei unbedingt die aus der Vorlesung bekannten Regeln für Determinantenberechnungen anwenden, da Sie ansonsten bis zum Abgabetermin dieser Hausübung nicht fertig sein werden (und falls doch werden Ihnen sogar Punkte abgezogen (Sie können sich ja vorstellen, welch einen Korrekturaufwand das macht)). Verifizieren Sie Ihr Ergebnis anhand der Formel für die Vandermonde-Determinante (wurde in der Vorlesung nicht besprochen, steht jedoch ausdrücklich im Skript und auch im Internet) |
Vorweg möchte ich sagen: JA, das ist die Art und Weise, wie mein Professor seine Aufgaben formuliert :)
Das Ergebnis der Determinante habe ich, das ist -691200 .
Mein Problem ist jetzt diese Verifizierung anhand der Formel der Vandermonde-Determinante. Wie soll ich das machen? Könnte mir da bitte jemand helfen?
Dank im Voraus:
bquadrat
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Hallo bquadrat,
> Vorweg möchte ich sagen: JA, das ist die Art und Weise,
> wie mein Professor seine Aufgaben formuliert :)
> Das Ergebnis der Determinante habe ich, das ist -691200 .
Das Ergebnis habe ich nicht nachgeprüft. [EDIT: Mittlerweile nachgeprüft. Das Ergebnis ist ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") ]
> Mein Problem ist jetzt diese Verifizierung anhand der
> Formel der Vandermonde-Determinante. Wie soll ich das
> machen? Könnte mir da bitte jemand helfen?
Na klar können wir das.
Wie sieht denn allgemein die Gestalt der Vandermonde-Matrix aus?
Naja, so hier:
[mm] V(x_1, x_2, \ldots,x_n) =\begin{pmatrix}
1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1} \\
1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-1} \\
1 & x_3 & x_3^2 & \cdots & x_3^{n-1} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-1}
\end{pmatrix}
[/mm]
Nun vergleiche mal deine Matrix mit der Vandermonde-Matrix. Wie sind also die [mm] x_1, x_2, x_3,... [/mm] bei dir?
Für die Determinante der Vandermonde-Matrix gilt:
[mm] $\det V(x_1,x_2, \ldots, x_n) [/mm] = [mm] \prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_j [/mm] - [mm] x_i)$
[/mm]
Somit ist es dir möglich direkt die Determinante zu berechnen, indem du diese Formel benutzt.
>
> Dank im Voraus:
> bquadrat
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:30 So 02.06.2013 | | Autor: | bquadrat |
Schonmal danke für die schnelle Antwort
Ja, genau das ist mir auch aufgefallen :)
[mm] x_{1} [/mm] wäre dann 1
[mm] x_{2} [/mm] wäre dann -1
[mm] x_{3} [/mm] wäre dann 2
[mm] x_{4} [/mm] wäre dann -2
[mm] x_{5} [/mm] wäre dann 3 und
[mm] x_{6} [/mm] wäre dann -3
mein Problem ist jetzt genau diese Formel. Ich weiß, das heißt fast das selbe wie dieses große Sigma, was für Summe steht, nur das man in diesem Fall nicht zusammenaddiert sondern immer multipliziert. Aber was ist jetzt z.B. [mm] x_{i} [/mm] und [mm] x_{j}? [/mm] ich verstehe es irgendwie gar nicht :s
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Noch einmal Hallo,
du musst über alle Möglichkeiten [mm] $1\le i\le j\le [/mm] n$ multiplizieren. Dein n ist natürlich n=6.
Deine [mm] x_i [/mm] hast du natürlich schon richtig gefunden.
Nun schauen wir uns mal die Formel an, und schreiben einfach mal wild los:
$ [mm] \det V(x_1,x_2, \ldots, x_n) [/mm] = [mm] \prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_j [/mm] - [mm] x_i)=(x_6-x_1)*(x_5-x_1)*(x_4-x_1)*(x_3-x_1)*(x_2-x_1)*(x_6-x_2)*(x_5-x_2)*\ldots$
[/mm]
Du gehst also alle Möglichkeiten durch, wo j>i. Das heißt also, dass es den Faktor [mm] (x_4-x_6) [/mm] nicht gibt!
Wird dir die Formel nun verständlicher?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:05 So 02.06.2013 | | Autor: | bquadrat |
Ja danke, das ist sie :)
im Skript von meinem Professor steht da die Formel
[mm] \produkt_{k=1}^{n}(\produkt_{j=0}^{k-1}(x_{k}-x_{j})
[/mm]
Da müsste dann aber das Selbe gelten oder?
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Setze mal n=6 ein, und gehe mal systematisch durch. Dann sollte dir auffallen, dass da eig. nix anderes steht ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:12 So 02.06.2013 | | Autor: | bquadrat |
okay :) danke
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