Berechnen eines Arguments < komplexe Zahlen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:55 Sa 04.05.2013 | | Autor: | mia1111 |
| Aufgabe | Man bestimme die Menge aller z mit folgender Eigenschaft:
0 < arg(z + i) [mm] <\bruch{2\pi}{3} [/mm] |
Hi,ich komme mal wieder beim Lösen einer Aufgabe nicht weiter und brauche Hilfe :-(
Da z= a+bi ist, habe ich das Argument zu z= a+(b+1)i zusammengefasst und in die trigonometrische Form umgewandelt:
z= [mm] (a+(b+1))(cos(t)+i\*sin(t)). [/mm]
Wie muss ich denn jetzt weiter rechnen?
LG Mia
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> Man bestimme die Menge aller z mit folgender Eigenschaft:
> 0 < arg(z + i) [mm]<\bruch{2\pi}{3}[/mm]
> Hi,ich komme mal wieder beim Lösen einer Aufgabe nicht
> weiter und brauche Hilfe :-(
>
> Da z= a+bi ist, habe ich das Argument zu z= a+(b+1)i
> zusammengefasst
soweit ist es ok.
> und in die trigonometrische Form
> umgewandelt:
>
> z= [mm](a+(b+1))(cos(t)+i\*sin(t)).[/mm]
>
Wo hast du denn diese 'Umformung' her, ist dir denn der Zusammenhang zwischen der kartesischen und der trigonometrischen Darstellung komplexer Zahlen klar?
> Wie muss ich denn jetzt weiter rechnen?
Ich würde mir ersteinaml die Intervallgrenzen für das Argument genauer ansehen. Der Winkel [mm] 2/3\pi [/mm] ist in Altgrad gemssen gleich [mm] 120\°, [/mm] da sollten sich auf jeden Fall schon einmal geometrische Überlegungen damit anstellen lassen.
Ist dir klar, weshalb der einzige Sinn und Zweck der Aufgabe darin bestehen kann, einen Zusammenhang zwischen Real- und Imaginärteil für die gesuchten Zahlen zu formulieren?
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:12 Sa 04.05.2013 | | Autor: | mia1111 |
| Aufgabe | Man bestimme die Menge aller z mit folgender Eigenschaft:
> 0 < arg(z + [mm] i)<\bruch{2\pi}{3} [/mm] |
Hi Diophant, danke für deine schnelle Antwort.
Der Zusammenhang zwischen der kartesischen und der trigonometrischen Darstellung ist mir eigentlich schon klar.
Ich wollte die Formel z=r*cos(t)+r*isin(t) benutzen und dann r ausklammern. Leider habe ich r falsch ausgerechnet :-(
r müsste doch [mm] \wurzel{a^{2}+(b+1)^{2}} [/mm] sein?
[mm] \Rightarrow z=\wurzel{a^{2}+(b+1)^{2}}(cos(t)+isin(t)).
[/mm]
Die Grenzwerte 0 und [mm] \bruch{2\pi}{3} [/mm] muss ich doch einfach nur für t einsetzen, oder nicht?
Aber mein Problem ist, dass ich einfach nicht verstehe , was ich mit dem Imaginärteil machen muss und wie ich z herausbekomme.
LG
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Hallo,
> Man bestimme die Menge aller z mit folgender Eigenschaft:
> > 0 < arg(z + [mm]i)<\bruch{2\pi}{3}[/mm]
> Hi Diophant, danke für deine schnelle Antwort.
> Der Zusammenhang zwischen der kartesischen und der
> trigonometrischen Darstellung ist mir eigentlich schon
> klar.
> Ich wollte die Formel z=r*cos(t)+r*isin(t) benutzen und
> dann r ausklammern. Leider habe ich r falsch ausgerechnet
> :-(
> r müsste doch [mm]\wurzel{a^{2}+(b+1)^{2}}[/mm] sein?
> [mm]\Rightarrow z=\wurzel{a^{2}+(b+1)^{2}}(cos(t)+isin(t)).[/mm]
>
Das bringt doch überhaupt nichts, zumal du dann auch noch t in Abhängigkeit von a und b ausdrücken müsstest.> Die Grenzwerte 0 und [mm]\bruch{2\pi}{3}[/mm] muss ich doch einfach
> nur für t einsetzen, oder nicht?
> Aber mein Problem ist, dass ich einfach nicht verstehe ,
> was ich mit dem Imaginärteil machen muss und wie ich z
> herausbekomme.
Deine Formulierung oben legt nahe, dass du den Sinn der Aufgabe nicht ganz erfasst hast. Es ist nicht eine Zahl z gesucht, sondern alle Zahlen, deren Argument die Ungleichung erfüllt.Du solltest dir erst einmal klarmachen, wo diese Zahlen in der Gauß'schen Ebene liegen. Denn wenn man sich das klargemacht hat, ist die Antwort eigentlich relativ einfach. Zeichne doch mal in eine solche Gaß'sche Ebene in Gedanken zwei Geraden ein, die das fragliche Gebiet auf jeden Fall beranden. Was kann man über diese beiden Geraden denn sofort sagen? Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:23 So 05.05.2013 | | Autor: | mia1111 |
| Aufgabe | Man bestimme die Menge aller z mit folgender Eigenschaft:
0 < arg(z + [mm] i)<\bruch{2\pi}{3} [/mm] |
Also, ich habe mir mal das Koordinatensystem und zwei Geraden mit jeweils einem Winkel von 120° und 0° aufgezeichnet.
Die Gerade, die einen Winkel von 120° einschließt, verläuft im 2. Quadranten und hat eine negative Steigung. Die Gerade, die einen Winkel von 0° einschließt, hat eine positive Steigung.
Der Imaginärteil muss doch insgesamt > 0 sein, da das Argument ja > 0 sein soll?
Aber ich verstehe immer noch nicht, wie ich den Realteil und die Menge aller z bestimmen kann.
Lg
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Hallo,
> Man bestimme die Menge aller z mit folgender Eigenschaft:
> 0 < arg(z + [mm]i)<\bruch{2\pi}{3}[/mm]
> Also, ich habe mir mal das Koordinatensystem und zwei
> Geraden mit jeweils einem Winkel von 120° und 0°
> aufgezeichnet.
> Die Gerade, die einen Winkel von 120° einschließt,
> verläuft im 2. Quadranten und hat eine negative Steigung.
> Die Gerade, die einen Winkel von 0° einschließt, hat eine
> positive Steigung.
> Der Imaginärteil muss doch insgesamt > 0 sein, da das
> Argument ja > 0 sein soll?
> Aber ich verstehe immer noch nicht, wie ich den Realteil
> und die Menge aller z bestimmen kann.
Wärst du denn in der Lage, das Gebiet in einem normalen kartesischen Koordinatensystem durch Ungleichungen zu beschreiben? Das geht hier im Prinzip mit Re(z)=x und Im(z)=y doch genau gleich.
Als erstes bräuchtest du mal die Steigung einer Geraden, die mit der positiven x-Achse einen Winkel von 120° und mit der positiven y-Achse somit einen Winkel von 30° einschließt. Dann kann man sicherlich die Tatsache, dass alle gesuchten Zahlen rechts von dieser Geraden liegen müssen, in Form einer Ungleichung ausdrücken.
Desweiteren muss Im(z+i)=Im(z)+1>0 gelten, wie du ja schon richtig erkannt hast.
Man kann also das Gebiet durch Angabe zweier Ungleichungen beschreiben, und genau das ist Sinn und Zweck der Aufgabe, meiner Meinung nach wenigstens.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:27 So 05.05.2013 | | Autor: | mia1111 |
Ich habe jetzt einmal die Gerade f(x)=-1.73x aufgestellt welche den Winkel von 120° aufstellt. Die andere Gerade ist f(x)=0. Kann ich jetzt sagen, dass für z alle Mengen im Bereich -1,73x> 0 [mm] \wedge [/mm] y> 0 liegen?
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Hallo,
> Ich habe jetzt einmal die Gerade f(x)=-1.73x aufgestellt
> welche den Winkel von 120° aufstellt. Die andere Gerade
> ist f(x)=0. Kann ich jetzt sagen, dass für z alle Mengen
> im Bereich -1,73x> 0 [mm]\wedge[/mm] y> 0 liegen?
was willst du hier mit Dezimalzahlen anfangen?
Die Gerade hätte die Gleichung
[mm] y=-\wurzel{3}x
[/mm]
In der Gaußschen Ebene wird daraus
[mm] Im(z)=-\wurzel{3}Re(z)
[/mm]
Jetzt musst du aber bedenken, dass deine Bedingung nicht für z, sondern für z+i formuliert ist.
Was kann man wohl über Im(z+i) auf jeden Fall aussagen (ich habe diese Eigenschaft in meiner vorigen Antwort schon verwendet)? Was kann man demnach für Re(z+i) schlussfolgern?
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:18 So 05.05.2013 | | Autor: | mia1111 |
Ich weiß , dass
Im(z)= [mm] -\wurzel{3}Re(z) \Rightarrow [/mm] Im(z+i)= Im(z)+1>0
[mm] \Rightarrow -\wurzel{3}Re(z)+1>0
[/mm]
Ich habe jetzt nach Re(z) umgestellt:
[mm] Re(z)>\bruch{\wurzel{3}}{3}
[/mm]
Wie rechne ich das jetzt zu Re(z+i) um? Einfach für i=1 einsetzten?
Re(z+i)=Re(z)+1?
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Hallo Mia,
> Ich weiß , dass
> Im(z)= [mm]-\wurzel{3}Re(z) \Rightarrow[/mm] Im(z+i)= Im(z)+1>0
> [mm]\Rightarrow -\wurzel{3}Re(z)+1>0[/mm]
Nein, darum geht es nicht.
Die gefundene Gerade (120°) ist zwar richtig beschrieben, aber wie Diophant doch schon bemerkte, soll deren Gleichung ja nicht für z, sondern für z+i gelten.
Also: [mm] Im(z+i)=-\wurzel(3)Re(z+i)
[/mm]
In der Tat gilt $Im(z+i)=Im(z)+1)
> Ich habe jetzt nach
> Re(z) umgestellt:
> [mm]Re(z)>\bruch{\wurzel{3}}{3}[/mm]
> Wie rechne ich das jetzt zu Re(z+i) um? Einfach für i=1
> einsetzten?
Für i ist nichts einzusetzen. i ist doch selbst eine komplexe Zahl.
> Re(z+i)=Re(z)+1?
Nein, natürlich nicht. $Re(z+i)=Re(z)$.
Grüße
reverend
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:25 So 05.05.2013 | | Autor: | abakus |
> Man bestimme die Menge aller z mit folgender Eigenschaft:
> 0 < arg(z + i) [mm]<\bruch{2\pi}{3}[/mm]
> Hi,ich komme mal wieder beim Lösen einer Aufgabe nicht
> weiter und brauche Hilfe :-(
Hallo Mia,
lassen wir doch erst einmal das "+i" weg.
0<arg(z)<[mm]\bruch{2\pi}{3}[/mm] ist ein Gebiet der Gauß'schen Zahlenebene, das zwischen zwei vom Koordinatenursprung ausgehenden Strahlen liegt (der 0°-Strahl und der 120°-Strahl).
Das "+i" bewirkt nun einfach eine Verschiebung dieses Gebietes um eine Einheit. (Ob das jetzt eine Einheit nach oben oder nach unten ist, kannst du selbst herausfinden.)
Gruß Abakus
>
> Da z= a+bi ist, habe ich das Argument zu z= a+(b+1)i
> zusammengefasst und in die trigonometrische Form
> umgewandelt:
>
> z= [mm](a+(b+1))(cos(t)+i\*sin(t)).[/mm]
>
> Wie muss ich denn jetzt weiter rechnen?
>
> LG Mia
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:36 So 05.05.2013 | | Autor: | mia1111 |
Vielen Danken für die vielen Antworten
LG Mia 
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