Berechnen des Inf und Sup < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:51 Sa 13.10.2012 | | Autor: | Knut123 |
| Aufgabe | Einleitender Text:
Analog zur Definition einer oberen Schranke einer Menge A [mm] \subset \IR [/mm] sat man, man, dass ein Wert t eine untere Schranke der Menge A ist, wenn für alle a [mm] \in [/mm] A die Ungleichung t [mm] \le [/mm] a gilt. Die größte untere Schranke einer Menge A (sofern sie existiert) bezeichnet man dann als das Infinum inf A.
Aufgabe:
Es sei M eine beliebige Teilmenge der reellen Zahlen. Wir definieren
-M:={-a|a [mm] \in [/mm] M}.
zeigen Sie, dass -M genau dann ein Supremum hat wenn Mein Infinum hat. Im Falle der Exisenz gilt
sup(-M) genau dann ein Supremum hat, wenn M ein Infinum hat. Im Falle der Existenz gilt
sup(-M) = -inf M. |
Hallo zusammen.
Ich hab ein Problem mit der Lösung der Aufgabe und zwar weiß ich nicht wie ich anfangen soll diese zu lösen. Die Vorüberlegungen die ich angstellt habe sind die, dass
1) M eine Teilmenge der reellen Zahlen ist, und es so zwei Zahlen gibt, die die Teilmenge beschränken ( [mm] t_{1} [/mm] und [mm] t_{2}). [/mm] Daraus ergibt sich für jedes a [mm] \in [/mm] M die Ungleichung [mm] t_{1} \le [/mm] a [mm] \le t_{2}.
[/mm]
2) Dadurch das M [mm] \subset \IR [/mm] nach oben beschränkt ist, hat M eine kleinste obere Schranke M.
3) Da M [mm] \subset \IR [/mm] ebenfalls nach unten beschränkt ist, müsste M also auch eine größte untere Schranke haben, also das Infinum.
Ich hab keine Idee wie ich die das Supremum, bzw das Infinum zeigen soll.
Mir ist der Gedanke gekommen, dass ich [mm] -M:={-a|a\inM} [/mm] umstellen könnte zu [mm] M:={a|-a\in-M}. [/mm] Ich befrüchte aber das dies leider falsch ist.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:42 Sa 13.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Knut,
> Einleitender Text:
> Analog zur Definition einer oberen Schranke einer Menge A
> [mm]\subset \IR[/mm] sat man, man, dass ein Wert t eine untere
> Schranke der Menge A ist, wenn für alle a [mm]\in[/mm] A die
> Ungleichung t [mm]\le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
a gilt. Die größte untere Schranke
> einer Menge A (sofern sie existiert) bezeichnet man dann
> als das Infinum inf A.
>
> Aufgabe:
> Es sei M eine beliebige Teilmenge der reellen Zahlen. Wir
> definieren
>
> -M:={-a|a [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
M}.
>
> zeigen Sie, dass -M genau dann ein Supremum hat wenn Mein
> Infinum hat. Im Falle der Exisenz gilt
>
> sup(-M) genau dann ein Supremum hat, wenn M ein Infinum
> hat. Im Falle der Existenz gilt
>
> sup(-M) = -inf M.
> Hallo zusammen.
>
> Ich hab ein Problem mit der Lösung der Aufgabe und zwar
> weiß ich nicht wie ich anfangen soll diese zu lösen. Die
> Vorüberlegungen die ich angstellt habe sind die, dass
>
> 1) M eine Teilmenge der reellen Zahlen ist, und es so zwei
> Zahlen gibt, die die Teilmenge beschränken ( [mm]t_{1}[/mm] und
> [mm]t_{2}).[/mm] Daraus ergibt sich für jedes a [mm]\in[/mm] M die
> Ungleichung [mm]t_{1} \le[/mm] a [mm]\le t_{2}.[/mm]
>
> 2) Dadurch das M [mm]\subset \IR[/mm] nach oben beschränkt ist, hat
> M eine kleinste obere Schranke M.
>
> 3) Da M [mm]\subset \IR[/mm] ebenfalls nach unten beschränkt ist,
> müsste M also auch eine größte untere Schranke haben,
> also das Infinum.
>
> Ich hab keine Idee wie ich die das Supremum, bzw das
> Infinum zeigen soll.
>
> Mir ist der Gedanke gekommen, dass ich [mm]-M:={-a|a\inM}[/mm]
> umstellen könnte zu [mm]M:={a|-a\in-M}.[/mm] Ich befrüchte aber
> das dies leider falsch ist.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
zu zeigen ist also, dass [mm] $-M\,$ [/mm] genau dann ein Supremum hat, wenn [mm] $M\,$
[/mm]
ein Infimum hat. Für diese Behauptung muss [mm] $M\,$ [/mm] nicht beschränkt (=nach
oben und auch nach unten) beschränkt sein. Nur: Falls einer der beiden
einander äquivalente Fälle wahr ist, wird immer [mm] $M\,$ [/mm] nach unten beschränkt sein.
Ich gebe Dir direkt den Tipp, zeige in einem auch die
Zusatzbehauptung:
[mm] $$\sup(-M)=-\inf(M)\,.$$
[/mm]
Beweisteil [mm] "$\Rightarrow$": [/mm]
Hier habe also [mm] $-M\,$ [/mm] ein Supremum. Nach Voraussetzung ist [mm] $-M\,$ [/mm]
dann insbesondere durch [mm] $S_{-M}:=\sup(-M)$ [/mm] nach oben beschränkt.
Das heißt, dass [mm] $S_{-M} \in \IR$ [/mm] eine obere Schranke für [mm] $-M\,$ [/mm] ist:
(1) Für alle $m' [mm] \in [/mm] -M$ gilt also $m' [mm] \le S_{-M}$
[/mm]
und nach Definition des Supremums ist [mm] $S_{-M}$ [/mm] die kleinste obere
Schranke für $-M$:
(2) Ist $B [mm] \in \IR$ [/mm] eine obere Schranke für [mm] $-M\,,$ [/mm] d.h. es gilt $m' [mm] \le [/mm] B$
für alle $m' [mm] \in (-M)\,,$ [/mm] so folgt $B [mm] \ge S_{-M}\,.$
[/mm]
Was ist nun zu zeigen? Nunja: Zu zeigen ist, dass [mm] $-S_{-M}=\inf(M)$ [/mm] gilt,
also:
(a) Für alle $m [mm] \in [/mm] M$ gilt [mm] $-S_{-M} \le [/mm] m$ [mm] ($-S_{-M}$ [/mm] ist untere
Schranke für [mm] $M\,$)
[/mm]
und
(b) Ist $T [mm] \in \IR$ [/mm] so, dass $T [mm] \le [/mm] m$ für alle $m [mm] \in [/mm] M$ (d.h. auch [mm] $T\,$
[/mm]
ist untere Schranke für [mm] $M\,$), [/mm] dann folgt $T [mm] \le -S_{-M}\,.$
[/mm]
zu (a): Sei nun $m [mm] \in [/mm] M$ irgendein Element. Dann ist $m':=-m [mm] \in [/mm] -M$
nach Definition von [mm] $-M\,.$ [/mm] Wende nun (1) an, forme um, und es folgt
$m [mm] \ge -S_{-M}\,.$ [/mm] Weil $m [mm] \in [/mm] M$ beliebig war, folgt [mm] $-S_{-M} \le [/mm] m$
für alle $m [mm] \in M\,,$ [/mm] also gilt (a): [mm] $-S_{-M}$ [/mm] ist untere Schranke für [mm] $-M\,.$
[/mm]
zu (b): Sei nun $T [mm] \in \IR$ [/mm] mit $T [mm] \le [/mm] m$ für alle $m [mm] \in M\,.$ [/mm] Dann gilt
$-m [mm] \le [/mm] -T$ für alle $m [mm] \in M\,.$ [/mm] Nach Definition von
[mm] $-M=\{m'=-m: m \in M\}$ [/mm] besagt das aber gerade, dass $m' [mm] \le [/mm] -T$ für
alle $m' [mm] \in [/mm] M$ gilt. Damit ist [mm] $-T\,$ [/mm] eine obere Schranke für [mm] $-M\,.$ [/mm]
Es folgt [mm] $S_{-M} \le [/mm] -T$ nach der Definition von [mm] $S_{-M}$ [/mm] als Supremum
von [mm] $-M\,.$ [/mm] Daraus folgt $T [mm] \le -S_{-M}\,,$ [/mm] also ist [mm] $-S_{-M}$ [/mm] die größte
untere Schranke für [mm] $M\,.$ [/mm] Mit [mm] $I_M:=-S_{-M}\,$ [/mm] folgt also [mm] $\inf(M)=I_M,.$
[/mm]
Jetzt käme Beweisteil [mm] "$\Leftarrow$" [/mm] dran:
Für $M [mm] \subseteq \IR$ [/mm] existiere [mm] $\inf M=:I_{M}\,,$ [/mm] und zu zeigen ist:
[mm] $-M\,$ [/mm] hat ein Supremum.
Wie geht das nun? Analog zu oben: Schreib' Dir hin, was es nun bedeutet,
dass [mm] $I_M$ [/mm] das Infimum der Menge [mm] $M\,$ [/mm] ist - insbesondere ist [mm] $M\,$ [/mm] nach
unten beschränkt. Folgere, dass Du mit [mm] $S_{-M}:=-I_M$ [/mm] nun sagen
kannst: [mm] $S_{-M}=\sup(-M)\,.$
[/mm]
P.S.
Beachte oben: [mm] $-M=\{-m: m \in M\}$ [/mm] besagt: $m' [mm] \in [/mm] (-M) [mm] \gdw \exists [/mm] m [mm] \in [/mm] M: [mm] m'=-m\,.$ [/mm]
P.P.S.
Verfolge mal jeden Beweisschritt von oben anhand [mm] $M:=(-2,\infty)\,$ [/mm] und
demzufolge [mm] $-M=(-\infty,2]\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:41 So 14.10.2012 | | Autor: | lina123 |
Hallo!
Ich bin gerade dabei die selbe Aufgabe zu lösen. Ich komme aber an einer Stelle beim Zeigen der "Rückrichtung" nicht weiter:
muss ich zeigen: I(M) = - Sup(- M) oder -I(M) = Sup(-M)
Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:14 So 14.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo!
>
> Ich bin gerade dabei die selbe Aufgabe zu lösen. Ich komme
> aber an einer Stelle beim Zeigen der "Rückrichtung" nicht
> weiter:
>
> muss ich zeigen: I(M) = - Sup(- M) oder -I(M) = Sup(-M)
das sind doch eh äquivalente Gleichungen. Ich würde es bei der
Rückrichtung aber so formulieren:
Nach Voraussetzung hat nun [mm] $M\,$ [/mm] ein Infimum, es existiert [mm] $I_M:=\inf(M)\,,$
[/mm]
und [mm] $M\,$ [/mm] ist insbesondere nach unten beschränkt.
Nun setze [mm] $S_{-M}:=-\;I_M\;\;\;(=-\;\inf(M))$ [/mm] und zeige, dass dann
[mm] $S_{-M}$ [/mm] das Supremum von [mm] $-M\,$ [/mm] ist.
Formal wäre es hier vielleicht sogar besser, anstatt [mm] $I_M$ [/mm] sowas wie
[mm] $\tilde{I}_M$ [/mm] (oder [mm] $J_M$) [/mm] und anstatt [mm] $S_{-M}$ [/mm] hier [mm] $\tilde{S}_{-M}$
[/mm]
zu schreiben - denn, was ich damit sagen will:
Man kann natürlich sonst in die Gefahr kommen, dass man in den
Beweisteil [mm] "$\Rightarrow$" [/mm] guckt und sich dann mit den dortigen
Definitionen fragt, was eigentlich zu zeigen ist. Dieser Beweisteil,
insbesondere alle vorkommenden Variablen, ist/sind aber "abgekoppelt"
von der Beweisrichtung [mm] "$\Rightarrow$" [/mm] anzusehen. Auch, wenn es
schlussendlich sogar egal ist und man auch direkt einen Beweis führen
kann, ohne [mm] "$\gdw$" [/mm] in [mm] "$\Rightarrow$" [/mm] und [mm] "$\Leftarrow$" [/mm] zu zerteilen,
und man dann die Variablen in der Tat in beiden Beweisrichtungen quasi
automatisch gleich benennt - was auch nicht falsch ist, didaktisch aber ein
wenig verwirren kann!
Gruß,
Marcel
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