Berechne X < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:21 So 06.02.2005 | | Autor: | kai |
Hallo nochmal,
habe folgende Aufgabe:
Man berechne X aus folgender Gleichung. [mm] A=\pmat{ 3 & -1 \\ -2 & 1 }
[/mm]
[mm] A^{T}XA^{-1} [/mm] + A = [mm] (A^{-1})^{T} [/mm]
Ich hab dann mal versucht nach X aufzulösen.
[mm] A^{T}XA^{-1} [/mm] + A = [mm] (A^{-1})^{T} [/mm] | -A
[mm] A^{T}XA^{-1} [/mm] = [mm] (A^{-1})^{T} [/mm] - A | * A
[mm] A^{T}X [/mm] = [mm] A(A^{-1})^{T} [/mm] - AA | * [mm] (A^{T})^{-1}
[/mm]
[mm] (A^{T})^{-1} A(A^{-1})^{T} [/mm] - [mm] AA(A^{T})^{-1} [/mm] = X
Ich glaube das kann so nicht richtig sein, weil ich laut dieser Umstellung nach X für X nicht die richtige Matrix kriege.
Hoffe mir kann jemand einen Tip geben, welchen Fehler ich bei der Umstellung gemacht hab.
Meine inverse Matrix ist: [mm] A^{-1}=\pmat{ 1 & 1 \\ 2 & 3 }
[/mm]
Vielen Dank für jede Hilfe.
Viele Grüsse Kai
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:45 So 06.02.2005 | | Autor: | pjoas |
Hallo nochmal,
>
> habe folgende Aufgabe:
>
> Man berechne X aus folgender Gleichung. [mm]A=\pmat{ 3 & -1 \\ -2 & 1 }
[/mm]
>
>
> [mm]A^{T}XA^{-1}[/mm] + A = [mm](A^{-1})^{T}[/mm]
>
> Ich hab dann mal versucht nach X aufzulösen.
>
> [mm]A^{T}XA^{-1}[/mm] + A = [mm](A^{-1})^{T}[/mm] | -A
>
>
> [mm]A^{T}XA^{-1}[/mm] = [mm](A^{-1})^{T}[/mm] - A | * A
>
von rechts dran multiplizieren!
>
statt
> [mm]A^{T}X[/mm] = [mm]A(A^{-1})^{T}[/mm] - AA | * [mm](A^{T})^{-1}
[/mm]
wird daraus
>
[mm]A^{T}X[/mm] = [mm](A^{-1})^{T}A[/mm] - AA | * [mm](A^{T})^{-1}
[/mm]
>
gleicher Fehler, da [mm] $](A^{T})^{-1}$ [/mm] von links dran multipliziert wird.
statt:
> [mm](A^{T})^{-1} (A^{-1})^{T}A[/mm] - [mm]AA(A^{T})^{-1}[/mm] = X
also
[mm](A^{T})^{-1} (A^{-1})^{T}A[/mm] - [mm](A^{T})^{-1}AA[/mm] = X
also insgesamt musst du nur einfach aufpassen, von welcher Seite du mit Matrizen multiplizierst
>
> Ich glaube das kann so nicht richtig sein, weil ich laut
> dieser Umstellung nach X für X nicht die richtige Matrix
> kriege.
>
> Hoffe mir kann jemand einen Tip geben, welchen Fehler ich
> bei der Umstellung gemacht hab.
>
> Meine inverse Matrix ist: [mm]A^{-1}=\pmat{ 1 & 1 \\ 2 & 3 }
[/mm]
>
>
> Vielen Dank für jede Hilfe.
>
> Viele Grüsse Kai
>
>
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:56 So 06.02.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
> Hallo Brackhaus,
>
> selbst wenn du dich ausreichend in algebraischer
> Zahlentheorie auskennst ist dieser Beweis - schon aufgrund
> seiner mächtigen Länge - harter Tobak;)
Von was redest du hier und was hat das mit der Aufgabe zu tun, wenn ich fragen darf???
Viele Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:05 So 06.02.2005 | | Autor: | pjoas |
Hallo Stefan,
ich befürchte, der Beitrag sollte zum Wiles-Thread gehören - oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:10 So 06.02.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Patrick!
Okay, verstehe, dann hast du die Zeilen vermutlich aus Versehen hier hereinkopiert. Alles klar, Danke! ![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]")
Viele Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:14 So 06.02.2005 | | Autor: | pjoas |
die standen noch im Postfenster... hatte angefangen, eine Bemerkung zum Wilesartikel zu schreiben und hatte das abgebrochen... und eben bei der Beantwortung vergessen..
mea culpa mea maxima culpa
und sorry für die Verwirrung
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:34 So 06.02.2005 | | Autor: | kai |
Hallo Patrick,
vielen Dank für deine Hilfe. Habs mit deiner Hilfestellung nochmal gerechnet und es hat perfekt geklappt.
Viele Grüsse Kai
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:12 So 06.02.2005 | | Autor: | DeusRa |
Hey,
ich habe soeben deine Aufgabe nachgerechnet und ich bin auf folgende Lösungen gekommen.
Wäre genial, wenn jemand diese als richtig oder falsch kennzeichnen könnte.
A= [mm] \pmat{ 3 & -1 \\ -2 & 1 }, [/mm] A-1= [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 2 & 3 }.
[/mm]
So die Eigenwerte von A betragen: [mm] 2+\wurzel{3} [/mm] und [mm] 2-\wurzel{3}. [/mm] Die Eigenvektoren betragen: [mm] E(2+\wurzel{3})= \pmat{ \bruch{1}{1+\wurzel{3}} \\ 1 } [/mm] und [mm] E(2-\wurzel{3})= \pmat{ \bruch{1}{1-\wurzel{3}} \\ 1 }.
[/mm]
Somit ist AT= [mm] \pmat{ \bruch{1}{1+\wurzel{3}} & \bruch{1}{1-\wurzel{3}} \\ 1 & 1 }.
[/mm]
So, dass ist soweit das was ich raus habe.
X habe ich noch nicht ausgerechnet.
Könnte jemand die Lsg von X hier posten, dann kann ich es danach besser überprüfen und muss es nicht nochmal posten.
Kleine Frage nebenbei: Man kann für (AT)-1 nicht A-T schreiben, oder ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:36 So 06.02.2005 | | Autor: | kai |
Hallo,
meine Lösung ist: X = [mm] \pmat{ -2 & 3 \\ 3 & 2 }
[/mm]
Wenn du X in die Ausgangsgleichung einträgst, kommt das wunderbar hin.
Diese Sachen mit Eigenvektoren hab ich gar nicht gemacht. Muss auch sagen das ich nicht weiss was das bedeutet
Hoffe das hilft.
Viele Grüsse Kai
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:28 Mo 07.02.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi DeusRa,
kann es sein, dass du von etwas anderem sprichst als hier angegeben?
Also [mm] A^T [/mm] soll nur die Transponierte sein, d.h. wenn $ [mm] A=\pmat{ 3 & -1 \\ -2 & 1 } [/mm] $ dann ist $ [mm] A^T=\pmat{ 3 & -2 \\ -1 & 1 } [/mm] $
> Kleine Frage nebenbei: Man kann für
> (AT)-1 nicht A-T
> schreiben, oder ?
Also $ [mm] (A^T)^{-1} [/mm] $ soll die Invertierte der Transponerten sein.
was soll denn $ [mm] A^{-T} [/mm] $ sein?
es gilt aber schon : $ [mm] (A^T)^{-1}=(A^{-1})^T [/mm] $ , falls du dies meintest.
viele Grüße
DaMenge
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