Berechne A^n in Abhäng. von n < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:17 Mi 01.05.2013 | | Autor: | Aguero |
| Aufgabe | a)
Sei A = [mm] \pmat{ 5 & 182 \\ -1/9 & -4 } [/mm] . Berechnen sie [mm] A^{n} [/mm] in Abhängigkeit von n und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} A^{n} [/mm] .
Anleitung: A ist diagonalisierbar! finden sie zunächst ine invertierbare Matrix T und eine Diagonalmatrix D mit A = [mm] TDT^{-1} [/mm] .
b)
Die Matrix B = [mm] \pmat{ 3 & -10 & 87 & -20 \\ 4 & -7 & 78 & -22 \\ 1 & -2 & 22 & -6 \\ 3 & -7 & 73 & -19 }
[/mm]
hat das char. polynom
[mm] \xi_{B} (\lambda) [/mm] = [mm] (\lambda^{2} [/mm] + 1) [mm] (\lambda^{2} [/mm] + [mm] \lambda [/mm] + 1)
Berechnen sie [mm] B^{1848}
[/mm]
Hinweis: Eigenräume nicht nötig! |
zu a)
Wenn ich richtig denke, benötige ich zuerst die Eigenwerte und die dazu gehörigen Eigenvektoren.
Ew wären : [mm] \lambda_{1} [/mm] = 1/3 & [mm] \lambda_{2} [/mm] = 2/3
Ev zu [mm] \lambda_{1} [/mm] : [mm] v_{1} [/mm] = [mm] \vektor{-39 \\ 1}
[/mm]
Ev zu [mm] \lambda_{2} [/mm] : [mm] v_{2} [/mm] = [mm] \vektor{-42 \\ 1}
[/mm]
Somit Lautet meine Matrix T = [mm] \pmat{ -39 & -42 \\ 1 & 1 } [/mm]
die hierzu inverse Matrix lautet [mm] T^{-1} [/mm] = [mm] \pmat{ 1/3 & 14 \\ -1/3 & -13 } [/mm]
Muss ich [mm] TDT^{-1} [/mm] = A
berechnen, wobei D eine Unbekannte ist?
also zum beispiel sowas
D= [mm] \pmat{ a & b \\ c & d }
[/mm]
Wie gehe ich weiter vor?
zu b)
Wie berechne ich am besten [mm] B^{1848} [/mm] ???
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> a)
> Sei A = [mm]\pmat{ 5 & 182 \\ -1/9 & -4 }[/mm] . Berechnen sie
> [mm]A^{n}[/mm] in Abhängigkeit von n und
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} A^{n}[/mm] .
>
> Anleitung: A ist diagonalisierbar! finden sie zunächst ine
> invertierbare Matrix T und eine Diagonalmatrix D mit A =
> [mm]TDT^{-1}[/mm] .
>
> b)
> Die Matrix B = [mm]\pmat{ 3 & -10 & 87 & -20 \\ 4 & -7 & 78 & -22 \\ 1 & -2 & 22 & -6 \\ 3 & -7 & 73 & -19 }[/mm]
>
> hat das char. polynom
>
> [mm]\xi_{B} (\lambda)[/mm] = [mm](\lambda^{2}[/mm] + 1) [mm](\lambda^{2}[/mm] +
> [mm]\lambda[/mm] + 1)
>
> Berechnen sie [mm]B^{1848}[/mm]
>
> Hinweis: Eigenräume nicht nötig!
> zu a)
> Wenn ich richtig denke, benötige ich zuerst die
> Eigenwerte und die dazu gehörigen Eigenvektoren.
> Ew wären : [mm]\lambda_{1}[/mm] = 1/3 & [mm]\lambda_{2}[/mm] = 2/3
> Ev zu [mm]\lambda_{1}[/mm] : [mm]v_{1}[/mm] = [mm]\vektor{-39 \\ 1}[/mm]
> Ev zu
> [mm]\lambda_{2}[/mm] : [mm]v_{2}[/mm] = [mm]\vektor{-42 \\ 1}[/mm]
>
>
> Somit Lautet meine Matrix T = [mm]\pmat{ -39 & -42 \\ 1 & 1 }[/mm]
>
> die hierzu inverse Matrix lautet [mm]T^{-1}[/mm] = [mm]\pmat{ 1/3 & 14 \\ -1/3 & -13 }[/mm]
>
>
> Muss ich [mm]TDT^{-1}[/mm] = A
> berechnen, wobei D eine Unbekannte ist?
> also zum beispiel sowas
>
> D= [mm]\pmat{ a & b \\ c & d }[/mm]
>
> Wie gehe ich weiter vor?
Hallo,
D ist eine Diagonalmatrix mit den Eigenwerten auf der Diagonale.
Du hast dann die Darstellung von A als [mm] $A=TDT^{-1}$, [/mm] dann ist doch [mm] $A^{2}=TDT^{-1}TDT^{-1} [/mm] = [mm] TD^{2}T^{-1} [/mm] da D Diagonalmatrix ist, ist Sie auch leicht zu potenzieren.
Bei der b) geht man genauso vor.
Gruß helicopter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:00 Do 02.05.2013 | | Autor: | Aguero |
Wäre die diagonalmatrix also
D= [mm] \pmat{ 5-\lambda & 182 \\ -1/9 & -4-\lambda }
[/mm]
wie gesagt sind [mm] \lambda_{1} [/mm] = 1/3 und [mm] \lambda{2} [/mm] = 2/3
Ev zum [mm] \lambda_{1} [/mm] = [mm] \vektor{-39 \\ 1}
[/mm]
Ev zum [mm] \lambda{2} [/mm] = [mm] \vektor{-42 \\ 1}
[/mm]
Wie komme ich jetzt an T ran?
bzw was ist jetzt zu tun?
und was hat das alles mit der berechnung von [mm] A^{n} [/mm] zu tun?!
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Hey,
deine Diagonalmatrix ist: D = [mm] \pmat{ 1/3 & 0 \\ 0 & 2/3 }
[/mm]
Nun hast du ja schon die Eigenvektoren bestimmt, sie bilden dein T, denn sie sind die Abbildung bezüglich der Standardbasis, somit ist T deine Transformationsmatrix von A. Die Inverse [mm] T^{-1} [/mm] kannst du durch invertieren bestimmen.
Nun haben wir schon mal gezeigt, dass [mm] A^{n} [/mm] = [mm] TD^{n}T^{-1} [/mm] ist. Das können wir nun anwenden und für n [mm] \to \infty [/mm] berechnen.
Am Ende kommen sehr schöne Zahlen raus.
Ich hoffe das hilft dir weiter.
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:29 Do 02.05.2013 | | Autor: | Aguero |
damit komme ich auf [mm] T^{-1} [/mm] = [mm] \pmat{ 1/3 & 1/14 \\ 1/3 & 13 }
[/mm]
soll ich nun [mm] TDT^{-1} [/mm] berechnen?
als probe müsste A herauskommen oder?
und wie mache ich das mit den n gegen unendlich?
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Hallo,
> damit komme ich auf [mm]T^{-1}[/mm] = [mm]\pmat{ 1/3 & 1/14 \\ 1/3 & 13 }[/mm]
>
Da Stimmt etwas nicht. In deinem ersten Beitrag hattest du T und [mm] T^{-1} [/mm] doch richtig.
[mm] $T=\pmat{ -39 & -42 \\ 1 & 1 } [/mm] $ und [mm] $T^{-1}=\pmat{ 1/3 & 14 \\ -1/3 & -13 }$
[/mm]
Deine Diagonalmatrix ist [mm] $D=\pmat{\lambda_{1} & 0\\0&\lambda_{2}}=\pmat{ 1/3 & 0 \\ 0 & 2/3 }
[/mm]
>
> soll ich nun [mm]TDT^{-1}[/mm] berechnen?
Du hast jetzt deine Darstellung von A: [mm] $A=TDT^{-1}=\pmat{ -39 & -42 \\ 1 & 1 }\pmat{ 1/3 & 0 \\ 0 & 2/3 }\pmat{ 1/3 & 14 \\ -1/3 & -13 }$,
[/mm]
wir wissen auch, dass [mm] $A^{n}=TD^{n}T^{-1} [/mm] $ ist. Also ist [mm] $A^{n}=\pmat{ -39 & -42 \\ 1 & 1 }\pmat{ 1/3 & 0 \\ 0 & 2/3 }^{n}\pmat{ 1/3 & 14 \\ -1/3 & -13 }=\pmat{ -39 & -42 \\ 1 & 1 }\pmat{ (1/3)^{n} & 0 \\ 0 & (2/3)^{n} }\pmat{ 1/3 & 14 \\ -1/3 & -13 }$.
[/mm]
Jetzt kannst du den Grenzwert [mm] n\to\infty [/mm] bilden.
Gruß helicopter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:33 Do 02.05.2013 | | Autor: | Aguero |
ich danke dir vielmals ich habe es endlich verstanden!
und zu B?
da hat man krumme Werte in [mm] \IC
[/mm]
dort gibt es 4 Eigenwerte
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Hallo,
> ich danke dir vielmals ich habe es endlich verstanden!
>
> und zu B?
> da hat man krumme Werte in [mm]\IC[/mm]
> dort gibt es 4 Eigenwerte
so krumm sind die doch garnicht. Ich komme auf [mm] $i,-i,-1/2\pm{}i\frac{\sqrt{3}}{2}$, [/mm]
Was [mm] $(\pm{}i)^{2048}$ [/mm] ist dürfte klar sein, die anderen beiden Werte kann man in Polardarstellung ziemlich gut rechnen.
Gruß helicopter
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