Belegungsfunktion < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:41 Di 15.07.2008 | | Autor: | SorcererBln |
| Aufgabe | | Zeige, dass die Belegungsfunktion eines signierten Maßes [mm] $\mu$ [/mm] in einem Punkt genau dann stetig ist, wenn die nur aus diesem Punkt bestehende Menge eine [mm] $\mu$-Nullmenge [/mm] ist. |
Die Richtung => habe ich zusammen mit der Jordanschen Zerlegung hinbekommen.
Bei der <=-Richtung komme ich nicht weiter: Die Belegungsfunktion ist ja
[mm] $F_\mu(x)=\mu(]-\infty,x])$
[/mm]
und nach Voraussetzung ist [mm] $\mu(\{a\})=0$. [/mm] Wir müssen nun zeigen, dass [mm] $F_\mu$ [/mm] in $a$ stetig ist. Hat jemand eine Idee?
|
|
| |
|
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Die Funktion $F_\mu$ ist immer rechtsseitig stetig (in $a$). Also müssen wir nur noch die Linksstetigkeit zeigen. Sei also $x_n \to a$mit $x_1\leq x_2\leq ...$ Setze
$A_n:=]x_n,a[\supset A_{n+1}$, $A=\bigcap A_n=\emptyset$,
also $A_n \to \emptyset$ von oben. Es folgt
$|F_\mu(a)-F_\mu(x_n)|=\mu^+(A_n)+\mu^-(A_n)$.
Die beide Maße $}mu^+,\mu^-$ sind endlich, da das signierte Maß $\mu$ endlich ist. Also folgt aus dem Stetigkeitssatz für Maße die Behauptung.
Problem: Kann man einfach die Folge $x_n$ als monoton wachsende Folge wählen?
|
|
|
| |
|
> Die Funktion [mm]F_\mu[/mm] ist immer rechtsseitig stetig (in [mm]a[/mm]).
> Also müssen wir nur noch die Linksstetigkeit zeigen. Sei
> also [mm]x_n \to a[/mm]mit [mm]x_1\leq x_2\leq ...[/mm] Setze
>
> [mm]A_n:=]x_n,a[\supset A_{n+1}[/mm], [mm]A=\bigcap A_n=\emptyset[/mm],
>
> also [mm]A_n \to \emptyset[/mm] von oben. Es folgt
>
> [mm]|F_\mu(a)-F_\mu(x_n)|=\mu^+(A_n)+\mu^-(A_n)[/mm].
>
> Die beide Maße [mm]}mu^+,\mu^-[/mm] sind endlich, da das signierte
> Maß [mm]\mu[/mm] endlich ist. Also folgt aus dem Stetigkeitssatz für
> Maße die Behauptung.
>
> Problem: Kann man einfach die Folge [mm]x_n[/mm] als monoton
> wachsende Folge wählen?
Ja, das geht und dies kann gezeigt werden mit einem bekannten Konvergenzprinzip. Damit ist die Aufgabe gelöst.
|
|
|
|
