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Hallo,
ich habe die funktion f(x)=x/(sqrt(2x+1)) und muss die integrieren von 0 bis 4.
Habe jetzt (sqrt(2x+1)) als z gewählt und dann die Intervalgrenzen 1 und 3 rausbekommen.
dann hatte ich 1/z und davon die Aufleitung ist lnz
dann habe ich die Intervalle eingesetzt und bekomm ln 3 raus.
Laut funkyplot muss aber 3,33 rauskommen.
Was ist falsch ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:10 Di 17.01.2006 | | Autor: | Disap |
> Hallo,
Hi.
> ich habe die funktion f(x)=x/(sqrt(2x+1)) und muss die
> integrieren von 0 bis 4.
> Habe jetzt (sqrt(2x+1)) als z gewählt und dann die
Nicht gut!
> Intervalgrenzen 1 und 3 rausbekommen.
> dann hatte ich 1/z und davon die Aufleitung ist lnz
> dann habe ich die Intervalle eingesetzt und bekomm ln 3
> raus.
> Laut funkyplot muss aber 3,33 rauskommen.
Das bekomme ich auch heraus!
> Was ist falsch ?
Deine "Aufleitung" ist falsch, wie du das schon richtig erkannt hast. Integrieren durch Substitution geht, aber statt einen hässlichen Wurzelterm würde ich eine andere, günstigere Substitution nehmen:
[mm] \integral_{a}^{b} \bruch{x}{\wurzel{2x+1}} [/mm] dx
z:=2x+1
z' = 2
z' = [mm] \bruch{dz}{dx} \gdw [/mm] dx = [mm] \bruch{dz}{z'}
[/mm]
Daraus folgt erst einmal
[mm] \integral_{a}^{b} \bruch{x}{\wurzel{z}}*\bruch{dz}{2}
[/mm]
Das Problem für das Integrieren ist jetzt das x, (oben) im Zähler. Und was macht man dann? Man stellt das z , was ich so schön definiert habe, nach x um.
z:=2x+1 [mm] \gdw [/mm] x= [mm] \bruch{z-1}{2}
[/mm]
Das setzt du ein und hast ein, dir hoffentlich bekannten, Term, den du integrieren kannst.
Ansonsten => neue Frage stelle!
Viele Grüße Disap
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:57 Di 17.01.2006 | | Autor: | philipp-100 |
hey disap
ich verstehe nicht genau wo das dz herkommt das x/sqrtz ist mir klar.
und das multiplizierst du dann noch mit dz / z`
was genau aber ist dann dz ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:40 Di 17.01.2006 | | Autor: | Disap |
> hey disap
Hallo philipp-100.
> ich verstehe nicht genau wo das dz herkommt das x/sqrtz ist
> mir klar.
Wie habt ihr denn das Integrieren durch Substituieren gelernt? Etwa nach diesen 1337-Schema, dass man sich bei dem Ausdruck, den man "integrieren" soll, eine "Funktion" versucht zu finden, dessen Ableitung den Ausdruck des Zählers ergeben soll? Wenn ihr sie so gelernt habt, dann weisst du, was ich meine... Will jetzt aber nicht großartig ein Beispiel anfangen.
Da wir substitutieren -> mit hilfe z=... brauchen wir beim "Integral" auch ein dz, da wir nun nach dz integrieren und nicht nach dx.
Daher musst du das dx erst in ein dz umwandeln. Die Herkunft des DX und DZ ist denkbar einfach.
Angenommen, du hast eine gerade, so ist
m= [mm] \bruch{dy}{dx}
[/mm]
oder wie ich es gerne vergleiche
m= [mm] \bruch{ \Deltay}{ \Deltax}
[/mm]
und für das Ermitteln des M, leiten wir die "Funktion" (y) einmal ab
[mm] y'=\bruch{dy}{dx} [/mm]
nun nennen wir unsere Funktion, dank der Substitution, aber nicht mehr y, sondern z. Wir haben nun also ein z(statt y oder f(x))- x-Diagramm.
D.h. es ergibt sich
[mm] z'=\bruch{dz}{dx} [/mm]
Und da kommt das dz her.
> und das multiplizierst du dann noch mit dz / z'
> was genau aber ist dann dz ?
Was meinst du damit? Dieses dz ist gleichbedeutend wie dx. Es gibt dir an, dass du nach x oder z integrieren musst. Im Gegensatz zum z' -> das ist die Ableitung und muss berücksichtigt werden.
Beim genauern Nachdenken ist nun auch klar, dass wenn du eine Funktion (im Nenner) findest, dessen Ableitung den Ausdruck um Zähler ergibt, man nur noch den Rest-Substitutions-Term integrieren muss. Aber auf diese Methode will ich gar nicht hinaus!
Du darfst dich nicht nach mit dem dz verwirren lassen, du musst nur noch das 1/z' mit in den Term bringen und integrieren.
Grüße Disap
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dann komm ich auf 1/sqrt(z)*((z-1)/2) im intervall 1 bis 3
dann müsste ich ja mit partieller integration weiterkommen ,oder?
u'=1/sqrt(z)
v=(z-1)/2
Gruß
Philipp
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:22 Di 17.01.2006 | | Autor: | Disap |
Hallo nochmals.
> dann komm ich auf 1/sqrt(z)*((z-1)/2) im intervall 1 bis 3
>
Ich habe gerade keine Ahnung, was du da gemacht hast, sieht aber nicht richtig aus.
Betrachten wir noch mal:
$ [mm] \integral_{a}^{b} \bruch{x}{\wurzel{z}}\cdot{}\bruch{dz}{2} [/mm] $
z:=2x+1 $ [mm] \gdw [/mm] $ [mm] \red{x}= [/mm] $ [mm] \bruch{z-1}{2} [/mm] $
dann setzen wir mal für x den Bruchterm ein
$ [mm] \integral_{a}^{b} \bruch{\bruch{z-1}{2}}{\wurzel{z}}\bruch{dz}{2} [/mm] $
Vereinfachen wir dieses Bruch, so ergibt sich
[mm] =\integral_{a}^{b}\bruch{\bruch{z-1}{1}}{\red{2}\wurzel{z}}\bruch{dz}{\red{2}} [/mm]
Sauber aufgeschrieben:
[mm] =\integral_{a}^{b} \bruch{z-1}{4\wurzel{z}}dz [/mm]
Das 1/4 als Faktor vors Integral:
= 0.25 [mm] \integral_{a}^{b} \bruch{z-1}{\wurzel{z}}dz [/mm]
=0.25 [mm] \integral_{a}^{b} \bruch{z}{\wurzel{z}}-\bruch{1}{\wurzel{z}}dz [/mm]
0.25 [mm] \integral_{a}^{b} z^{0.5} [/mm] - [mm] \bruch{1}{z^{0.5}}dz
[/mm]
Stammfunktion bilden und zurücksubstituieren, damit du dann die alten Integralgrenzen nutzen kannst.
> dann müsste ich ja mit partieller integration weiterkommen
> ,oder?
>
> u'=1/sqrt(z)
> v=(z-1)/2
> Gruß
>
> Philipp
Viele Grüße Disap
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stammfunktion ist ja dann :2/3*z^(3/2)-2*z^(1/2)
und zurücksubstituieren .
und dann für z das hier einsetzten : 2x+1 und dann für x=0 und 4 einsetzten oder wie?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:13 Mi 18.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen Philipp!
Entweder Du führst die Re-substituttion durch, d.h. Du erhältst eine Stammfunktion in Abhängigkeit von der Variablen $x_$; dann mit den Grenzen [mm] $x_1 [/mm] \ = \ 0$ und [mm] $x_2 [/mm] \ = \ 4$ .
Oder Du ersetzt nun die $x_$-Integrationsgrenzen durch $z_$-Grenzen:
[mm] $z_1 [/mm] \ = \ [mm] 2*x_1+1 [/mm] \ = \ 2*0+1 \ = \ 1$
[mm] $z_2 [/mm] \ = \ [mm] 2*x_2+1 [/mm] \ = \ 2*4+1 \ = \ 9$
Gruß
Loddar
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Hallo ,
ich verstehe den ganzen Hergang, bis auf ein kleines Detail:
$ [mm] \integral_{a}^{b} \bruch{x}{\wurzel{z}}\cdot{}\bruch{dz}{2} [/mm] $
wie du hier auf das dz/2 gekommen bist.
man hätte es ja auch 1/2*dz schreiben können .
nach welcher Formel hast du das gemacht ?
ich weiß nicht warum du den ganzen Bruch mit 1/z' multiplizierst.
Danke
Philipp
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