Beispiel zu Hasse-Minkowski < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:35 Mi 20.09.2006 | | Autor: | Denny22 |
| Aufgabe | Satz: ("Lokal-Global-Prinzip" von Hasse-Minkowski)
Sei [mm] $F(x_1,...,x_n)$ [/mm] eine quadratische Form mit rationalen Koeffizienten. Die Gleichung
[mm] $F(x_1,...,x_n)=0$
[/mm]
besitzt genau dann eine nicht-triviale Lösung in [mm] $\IQ$, [/mm] wenn sie eine nicht triviale Lösung in [mm] $\IR$ [/mm] und in [mm] $\IQ_p$ [/mm] für alle Primzahlen p besitzt.
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Hallo an alle,
Ich habe zwei Fragen:
1. Was versteht man in diesem Zusammenhang genau unter einer quadratischen Form?
2. Könnte mir jemand ein Beispiel mit Begründung nennen, auf das dieser Satz anwendbar ist?
(Diese Frage wurde in keinem anderen Forum und auf keiner anderen Internetseite gestellt)
Ich danke euch für eure Mithilfe.
Denny
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Hallo Denny,
eine quadratische Form ist hier ein homogenes Polynom zweiten Grades über [mm] \IQ, [/mm] d.h. von der Form [mm] $\sum_{i,j} a_{ij} x_i x_j$.
[/mm]
Rein theoretisch hilft der Satz von Hasse-Minkowski dabei, die Lösbarkeit über [mm] \IQ [/mm] zu prüfen, weil es für [mm] \IR [/mm] und die [mm] \IQ_p [/mm] einen endlichen Entscheidungsalgorithmus gibt, den man nur für endlich viele Primzahlen überhaupt anwenden muss.
Ein konkretes Beispiel dazu hab ich nicht anzubieten, weil ich in einem Seminar zwar den Satz bewiesen habe (und eine Verallgemeinerung davon in meiner Diplomarbeit), aber nie ein Beispiel betrachtet habe. :(
Gruß,
SirJective
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 So 24.09.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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