Beispiel für den linearen Code < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
lerne grade für eine Prüfung und will etwas klar stellen. Die Generatormatrix hat die folgende Form
G = [mm] (I_{k}|A_{n - k})
[/mm]
Man soll ein Beispiel für den linearen Code C [5, 2] angeben.
Zuerst beginne ich mit der Generatormatrix
G = [mm] \pmat{ 1 & 0 & x & x & x \\ 0 & 1 & x & x & x}
[/mm]
Darf ich alle x´s durch belibiege Zahlen (in [mm] \IZ_{2}) [/mm] ersetzten? Wenn ja, dann G ist meine Generatormatrix
G = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1}
[/mm]
Mit dieser Matrix "kodiere" ich die Nachricht "01" und erhalte anschließend
das Codewort (0 1) * [mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1} [/mm] = 01101
Dann ist die Kontrollmatrix H = [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 1}. [/mm] Um nun zu prüfen, ob alles stimmt, multipliziere ich das Codewort mit der Kontrollmatrix. Dabei soll 0 rauskommen.
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 1} [/mm] * [mm] \pmat{ 0 & 1 & 1 & 0 & 1}^{T} [/mm] = (0 0 0).
So weit, so gut! Es muss alles stimmen. Oder? Ist das ein korrektes Beispiel für den linearen Code [5, 2] in [mm] \IZ_{2}?
[/mm]
P.S. Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:49 Di 17.12.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> lerne grade für eine Prüfung und will etwas klar stellen.
> Die Generatormatrix hat die folgende Form
>
> G = [mm](I_{k}|A_{n - k})[/mm]
In systematischer Form, ja.
> Man soll ein Beispiel für den linearen Code C [5, 2]
> angeben.
>
> Zuerst beginne ich mit der Generatormatrix
>
> G = [mm]\pmat{ 1 & 0 & x & x & x \\ 0 & 1 & x & x & x}[/mm]
>
> Darf ich alle x´s durch belibiege Zahlen (in [mm]\IZ_{2})[/mm]
> ersetzten?
Wenn du neben Dimension und Laenge keine weiteren Ansprueche an den Code stellst, ja.
> Wenn ja, dann G ist meine Generatormatrix
>
> G = [mm]\pmat{ 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1}[/mm]
>
> Mit dieser Matrix "kodiere" ich die Nachricht "01" und
> erhalte anschließend
>
> das Codewort (0 1) * [mm]\pmat{ 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1}[/mm]
> = 01101
>
> Dann ist die Kontrollmatrix H = [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 1}.[/mm]
> Um nun zu prüfen, ob alles stimmt, multipliziere ich das
> Codewort mit der Kontrollmatrix. Dabei soll 0 rauskommen.
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 1}[/mm]
> * [mm]\pmat{ 0 & 1 & 1 & 0 & 1}^{T}[/mm] = (0 0 0).
>
> So weit, so gut! Es muss alles stimmen. Oder?
Nun, um das noch etwas genauer zu ueberpruefen kannst du Kontroll- mit Generatormatrix multiplizieren. Also $H [mm] G^T$ [/mm] muss ebenfalls gleich 0 sein.
> Ist das ein
> korrektes Beispiel für den linearen Code [5, 2] in
Nicht fuer den, sondern fuer einen. Es gibt viele binaere $[5, 2]$-Codes.
> [mm]\IZ_{2}?[/mm]
Ja.
LG Felix
|
|
|
|
