Beispiel für Maß < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:36 Sa 05.11.2011 | | Autor: | Teufel |
| Aufgabe | Sei X überabzählbar. Gilt folgende Äquivalenz:
[mm] \mu [/mm] ist Maß auf (X,P(X)) [mm] \gdw $\mu=\summe_{x \in X}^{}a_x*\delta_x$ [/mm] mit [mm] $a_x \in [0,\infty]$? [/mm] |
Hi!
Irgendwie will mir kein Beispiel einfallen. Ich wollte einfach mal [mm] X=\IR [/mm] nehmen und mein Glück versuchen, also zeigen, dass die Äquivalent dann nicht stimmt.
Dazu wollte ich ein [mm] \mu [/mm] von der Form der rechten Äquivalent nehmen und zeigen, dass das kein Maß auf (X,P(X)) ist. Aber leider scheitere ich daran. Immer kriege ich etwas raus, dass dann doch irgendwie ein Maß ist. Ich muss sicher irgendeine abstruse Menge konstruieren, aber ich komme nicht genau darauf, wie sie aussehen muss.
Weiß da jemand Rat?
Danke.
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> Sei X überabzählbar. Gilt folgende Äquivalenz:
> [mm]\mu[/mm] ist Maß auf (X,P(X)) [mm]\gdw[/mm] [mm]\mu=\summe_{x \in X}^{}a_x*\delta_x[/mm]
> mit [mm]a_x \in [0,\infty][/mm]?
> Hi!
>
> Irgendwie will mir kein Beispiel einfallen. Ich wollte
> einfach mal [mm]X=\IR[/mm] nehmen und mein Glück versuchen, also
> zeigen, dass die Äquivalent dann nicht stimmt.
>
> Dazu wollte ich ein [mm]\mu[/mm] von der Form der rechten
> Äquivalent nehmen und zeigen, dass das kein Maß auf
> (X,P(X)) ist. Aber leider scheitere ich daran. Immer kriege
> ich etwas raus, dass dann doch irgendwie ein Maß ist. Ich
> muss sicher irgendeine abstruse Menge konstruieren, aber
> ich komme nicht genau darauf, wie sie aussehen muss.
>
> Weiß da jemand Rat?
>
> Danke.
>
Es müsste eigentlich gehen mit [mm] \mu(A)=0 [/mm] für alle abzählbaren und [mm] \mu(A)=\infty [/mm] für alle überabzählbaren Teilmengen von X.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:32 So 06.11.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Danke für den Tipp. Damit geht das alles! Hätte man eigentlich auch drauf kommen können.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:22 Sa 05.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Teufel,
ergänzend zu donquijotes Lösungshinweis:
Die Implikation von rechts nach links trifft zu. Kein Wunder also, dass du kein Gegenbeispiel für diese Implikation finden konntest.
Aufgefallen ist mir noch, dass in der Aufgabenstellung eine überabzählbare Summe auftritt, in der nicht alle bis auf abzählbar viele Summanden 0 sein müssen. Interessant ist hier der Fall, dass alle Summanden endlich, aber überabzählbar viele Summanden >0 sind. Gemeint ist in diesem Fall mit der Summe offenbar [mm] $\infty$, [/mm] was auch sehr sinnvoll ist, wie man sich überlegen kann. (Unter dieser Annahme habe ich auch die Implikation von rechts nach links untersucht.)
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:24 So 06.11.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ah ok, vielen Dank!
Kein Wunder, dass ich da nichts gefunden habe. :)
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