Beispiel für Irreduzibel \not= < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:33 Mo 24.05.2010 | | Autor: | Murx |
| Aufgabe | Betrachte [mm] G_{-5}={a+b \wurzel[]{-5}| a,b \in \IZ} [/mm]
Also z. B. [mm] 6=2*3=(1+\wurzel[]{-5})(1-\wurzel[]{-5}) [/mm] als Gegenbeispiel.
Insgesamt soll gezeigt werden, dass in diesem Fall irreduzibel nicht gleich prim ist. |
Hallo,
ich versteh hier leider nicht, wie man zeigt, dass [mm] (1+\wurzel[]{-5}) [/mm] irreduzibel ist.
Kann mir da vllt. jemand bitte weiterhelfen? Ich bin mittlerweile sehr verwirrt wie ich überhaupt ansetzen muss. Algebra ist für mich leider auch noch Neuland. oft findet man so etwas oder so etwas ähnliches in Lehrbüchern und dann wird über eine Norm argumentiert. Mir ist aber leider nicht einsichtig geworden, wie das geht.
Danke schonmal, Murx
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Hallo,
ein Element $s [mm] \in G_{-5}$ [/mm] ist ja irreduzibel, wenn aus $ s=a [mm] \cdot [/mm] b$ folgt, dass $a$ oder $b$ eine Einheit ist. Jetzt überlegt man sich zunächst einmal, was die Einheiten in [mm] $G_{-5}$ [/mm] sind. Um die Einheiten rauszubekommen, definiert man sich eine Abbildung
$N: [mm] G_{-5} \rightarrow \IZ_{+}$: $N(a+b\sqrt{-5})=a^2+5b^2$. [/mm]
Man rechnet nun leicht nach, das diese Abbildung ein Homomorphismus ist, also das gilt:
$ N( [mm] (a+b\sqrt{-5})(c+d\sqrt{-5})) [/mm] = [mm] N(a+b\sqrt{-5})\cdot N(c+d\sqrt{-5})$. [/mm]
Sei nun $z [mm] \in G_{-5}$ [/mm] eine Einheit und sei $z^_{-1}$ das Inverse von $z$. Dann ist [mm] $z\cdot z^{-1} [/mm] = 1$ also [mm] N(z\cdot z^{-1})=N(1)=1. [/mm] Nun ist $N$ ja ein Homomorphismus also gilt auch [mm] $N(z)\cdot N(z^{-1})=1$. [/mm] Da $N(z) [mm] \in \IZ$ [/mm] und eine Einheit ist (in [mm] $\IZ$ [/mm] mit Inversem [mm] $N(z^{-1})$) [/mm] muss [mm] $N(z)=\pm [/mm] 1$ sein, und weil es positiv ist, ist N(z)=1. Die einzigen ganzzahligen Lösungen für [mm] a^2+5b^2=1 [/mm] sind $(1,0); (-1,0)$, Also sind die Einheiten [mm] $\{1, -1\}$. [/mm]
So jetzt zu irreduzibel. Hier nimmt man an dass [mm] $1+\sqrt{-5}=a \cdot [/mm] b$ mit $a,b [mm] \in G_{-5}$. [/mm] Rechne jetzt mal von beiden Seiten der Gleichung die Norm aus und nutze die Homomorphismuseigenschaft. Verwende dann ein Teilbarkeitsargument, um zu zeigen, dass $a$ oder $b$ eine Einheit sein muss.
Viele Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:47 Mo 24.05.2010 | | Autor: | Murx |
Hallo,
danke schonmal an blascowitz, dein Beitrag hilft mir schon wirklich sehr viel weiter. An dieser Stelle ein riesiges DANKESCHÖN. Du hast dir meiner Meinung nach echt Mühe gegeben es mir zu erklären!
Ich hab jetzt mal, wie du vorgeschlagen hast, die Norm von beiden Seiten der Gleichung ermittelt und folgendes erhalten:
[mm] N(1+\wurzel[]{-5})=1² [/mm] + 5*1² = 6
Kann ich weiter so argumentieren:
N(a*b) = 6 (weil [mm] N(a*b)=N(1+\wurzel[]{-5}) [/mm] sein soll)
<=> N(a) * N(b) = 6 (wg. Homomorphismus)
Annahme: N(a) & N(b) sind aus der Menge {2,3} (ich nehme also an, es gebe einen gewöhnlichen Teiler! Ich hab hier 2 und 3 gewählt, weil das die gewöhnl. Teiler von 6 sind!)
Aber für einen gewöhnlichen Teiler (ich meine alle Teiler, die keine echten Teiler sind!) müsste dann die Gleichung: a² +5b²=2 ODER a² +5b²=3 erfüllt sein. (Verstehe ich das hier richtig, dass N(a)=N(b)=a² +5b² gelten muss? Oder ist der Ansatz hier falsch?)
Aber es existieren keine ganzzahligen Lösungen für diese Gleichungen!
Daher muss a oder b Einheit sein, oder?
Dann folgt schon, dass [mm] 1+\wurzel[]{-5} [/mm] irreduzibel ist.
Ich glaub kleine Verständnisschwierigkeiten sind bei mir leider noch vorhanden.
Danke schonmal, Murx
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:42 Di 25.05.2010 | | Autor: | PeterB |
Hallo Murx,
das sieht doch schon sehr gut aus. Allerdings verhedderst Du dich gegen Ende komplett in Deiner Notation. Hier also meine Anmerkungen:
> Hallo,
>
> danke schonmal an blascowitz, dein Beitrag hilft mir schon
> wirklich sehr viel weiter. An dieser Stelle ein riesiges
> DANKESCHÖN. Du hast dir meiner Meinung nach echt Mühe
> gegeben es mir zu erklären!
>
> Ich hab jetzt mal, wie du vorgeschlagen hast, die Norm von
> beiden Seiten der Gleichung ermittelt und folgendes
> erhalten:
>
> [mm]N(1+\wurzel[]{-5})=1²[/mm] + 5*1² = 6
>
> Kann ich weiter so argumentieren:
> N(a*b) = 6 (weil [mm]N(a*b)=N(1+\wurzel[]{-5})[/mm] sein soll)
> <=> N(a) * N(b) = 6 (wg. Homomorphismus)
>
Bis hierher sieht es sehr gut aus!
> Annahme: N(a) & N(b) sind aus der Menge {2,3} (ich nehme
> also an, es gebe einen gewöhnlichen Teiler! Ich hab hier 2
> und 3 gewählt, weil das die gewöhnl. Teiler von 6 sind!)
Hier benutzt Du: "Alle Elemente mit Norm 1 sind sind Einheiten" Ist das bekannt? Weißt du warum man das braucht?
>
> Aber für einen gewöhnlichen Teiler (ich meine alle
> Teiler, die keine echten Teiler sind!) müsste dann die
> Gleichung: a² +5b²=2 ODER a² +5b²=3 erfüllt sein.
Zwei Bemerkungen: Du meinst dass gewöhnliche Teiler die nicht trivialen Teiler sind. "Echte Teiler" sind das was Du gewöhnliche Teiler nennst, manchmal auch mit 1.
Zweitens kann man hier etwas genauer sagen, dass eine der Normen 2 und die andere 3 sein muss! (Das muss man nicht sagen, es hängt aber mit der Verwirrung unten zusammen!)
> (Verstehe ich das hier richtig, dass N(a)=N(b)=a² +5b²
> gelten muss? Oder ist der Ansatz hier falsch?)
Hm, da tauchen a's und b's mit verschiedenen Bedeutungen in einer Gleichung auf! Also a und b wie oben sind von der Form [mm] $a=x+y\sqrt{ -5}$ [/mm] und [mm] $b=x'+y'\sqrt{-5}$. [/mm] (Du hattest das mit a und b statt x und y bezeichnet, aber die Buchstaben sind jetzt besetzt!) Also gilt: [mm] $N(a)=x^2+5y^2$ [/mm] und $N(b)=x'^2+5y'^2$. Wenn Du willst kannst Du o.B.d.A. $N(a)=2$ und $N(b)=3$ annehmen, aber die Normen sind nicht gleich!
> Aber es existieren keine ganzzahligen Lösungen für diese
> Gleichungen!
Ich hoffe du weißt wieso
> Daher muss a oder b Einheit sein, oder?
"Alle Elemente mit norm 1 sind sind Einheiten" siehe oben!
> Dann folgt schon, dass [mm]1+\wurzel[]{-5}[/mm] irreduzibel ist.
>
> Ich glaub kleine Verständnisschwierigkeiten sind bei mir
> leider noch vorhanden.
Das sieht doch wirklich gut aus, nur bei der Notation musst Du etwas vorsichtiger sein!
Gruß
Peter
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