Beispiel Verteilungen für Test < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:28 Fr 06.11.2015 | | Autor: | DerBaum |
| Aufgabe | | Gesucht sind Verteilungen [mm] $P_0,P_1$, [/mm] sodass ein Test zum Signifikanzniveau [mm] $\alpha=0$ [/mm] mit Macht [mm] $\beta=1$ [/mm] existiert. |
Es geht hier um das Neyman-Pearson-Lemma. Ich habe mir bisher folgendes Gedacht:
Seien nun [mm] $P_0,P_1$ [/mm] Verteilungen auf [mm] $(S,\mathcal{S})$ [/mm] und [mm] $p_0,p_1$ [/mm] die dazugehörigen Dichten.
Der glm. beste Test zum Niveau [mm] $\alpha=0$ [/mm] hat ja die Form:
[mm] $$\varphi: (S,\mathcal{S})\to([0,1],\mathcal{B}),x\mapsto\begin{cases}1,&\{x\,:\,p_1(x)>kp_0(x)\}=:M^>\\ 0,&\{x\,:\,p_1(x)
Also haben wir
[mm] $M^>=(\underbrace{\{p_1>\infty\}}_{=\emptyset}\cap\{p_0\neq0\})\;\cup\;\left(\{p_1>0\}\cap\{p_0=0\}\right)=\{p_1>0\}\cap\{p_0=0\}$
[/mm]
[mm] $M^=:={x\,:\,p_1(x)=kp_0(x)\}=(\underbrace{\{p_1=\infty\}}_{=\emptyset}\cap\{p_0\neq0\})\;\cup\;\left(\{p_1=0\}\cap\{p_0=0\}\right)=\{p_1=0\}\cap\{p_0=0\}$
[/mm]
Damit gilt inbesondere [mm] $E_0[\varphi]=\underbrace{P_0(M^>)}_{=0}+\gamma \underbrace{P_0(M^=)}_{=0}=0$ [/mm] (für [mm] $\gamma\in[0,1]$).
[/mm]
Damit nun [mm] $\beta=1$, [/mm] also [mm] $E_1[\varphi]=1$ [/mm] gilt, habe ich mir überlegt Verteilungen zu wählen, für die [mm] $P_1(M^>)=P_1(\{p_1>0\}\cap\{p_0=0\})=1$ [/mm] (und damit [mm] P_1(\{p_1=0\}\cup\{p_0>0\})=0$)
[/mm]
Dann würde nämlich gelten:
[mm] $E_1[\varphi]=P_1(M^>)+\gamma \underbrace{P_1(M^=)}_{=0}=1.$
[/mm]
Jedoch komme ich einfach nicht darauf, was für Verteilungen ich nehmen könnte.
Vielen Dank und liebe Grüße
DerBaum
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(Frage) überfällig | | Datum: | 23:53 Fr 06.11.2015 | | Autor: | DerBaum |
Was wäre, wenn ich die Gleichverteilung auf [mm] $(S,\mathcal{S})=(\mathbb{R},\mathcal{B}),\,P_0=U(\theta_0,\theta_0+1),\,P_1=U(\theta_1,\theta_1+1)$ [/mm] mit [mm] $\theta_1>\theta_0+1$ [/mm] wähle.
Dann gilt [mm] $p_i(x)={1}_{[\theta_i,\theta_i+1]}(x),\quad [/mm] i=1,2$
Außerdem gilt [mm] $\{p_i>0\}=[\theta_i,\theta_i+1]$ [/mm] und wegen [mm] $[\theta_0,\theta_0+1]\cap[\theta_1,\theta_1+1]=\emptyset$: \
[/mm]
[mm] $M^>=\{p_1>0\}\cap\{p_0=0\}=[\theta_1,\theta_1+1]\cap[\theta_0,\theta_0+1]^C=[\theta_1,\theta_1+1]$
[/mm]
[mm] $P_1(M^>)=P_1(\{p_1>0\}\cap\{p_0=0\})=P_1([\theta_1,\theta_1+1])=1$
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Sa 14.11.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:20 Sa 14.11.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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