Beispiel (FixpunktsatzBanach) < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | es sei A eine lineare Abbildung auf [mm] \IR^n [/mm] mit [mm] \parallel [/mm] A [mm] \parallel [/mm] op (die Operatornorm von A) < 1 und b [mm] \in \IR [/mm] ^n beliebig. Zeigen Sie, dass es genau eine Lösung x [mm] \in \IR [/mm] ^n der Gleichung
x = b + Ax
gibt. Es folgt also x = (I - A)^-1b, wobei I die einheitsmatrix bezeichnet. Welche Näherungsformel für (I-A)^-1 ergibt das iterative Verfahren aus dem Beweis des fixpunktsatzes von Banach für den Startwert x0 = b ? |
hi, also ich stehe bei diesem beispiel komplett an..
also ich hab überhaupt keine idee, wie ich das angehen soll.. , bin für alle anregungen dankbar..
lg,
Natalie
( hab diesen eintrag in keinem anderen forum gepostet)
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hallo!! ja, ich bin noch interessiert an der frage!! also wenn jemand einen ansatz zu dem beispiel findet, wäre das toll..
lg,
natalie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:59 Mo 01.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Natalie!
Der Banachsche Fixpunktsatz sagt ja etwas ueber Fixpunkte von Funktionen aus, also Punkten $x$ mit $x = f(x)$.
Hier willst du zeigen, dass es einen Vektor $x$ mit $x = b + A x$ gibt, also mit $x = f(x)$, wobei $f(x) := b + A x$ ist. Um den Banachschen Fixpunktsatz anwenden zu koennen musst du nun zeigen, dass $f$ kontrahierend ist, dass also [mm] $\| [/mm] f(x) - f(y) [mm] \| \le [/mm] L [mm] \| [/mm] x - y [mm] \|$ [/mm] ist fuer eine Konstante $L < 1$ und alle Vektoren $x, y$.
So. Es ist ja [mm] $\| [/mm] f(x) - f(y) [mm] \| [/mm] = [mm] \| [/mm] b + A x - (b + A y) [mm] \| [/mm] = [mm] \| [/mm] A (x - y) [mm] \|$, [/mm] und wegen der Operatornorm gilt [mm] $\| [/mm] A (x - y) [mm] \| \le \| [/mm] A [mm] \|_{op} \cdot \| [/mm] x - y [mm] \|$.
[/mm]
Dies sagt dir insbesondere, dass es zu jedem Vektor $b$ genau einen Vektor $x$ gibt mit $x = b + A x$, also $(I - A) x = b$. Also ist $I - A$ invertierbar.
Hilft dir das weiter?
LG Felix
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