Behandlung von Eigenschaften < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:48 Sa 26.03.2011 | | Autor: | clemenum |
| Aufgabe | Man zeige de Gültigkeit der Aussage:
[mm] $[x_1] +\ldots [/mm] + [mm] [x_k] \le [x_1+\ldots [/mm] + [mm] x_k] \forall x_1,\ldots [/mm] , [mm] x_k \in \mathbb{R}$ [/mm] |
Definiere:
[mm] $A_1= \{l_1\in \mathbb{Z}|l_1\le x_1\}, \ldots, A_k= \{l_k\in \mathbb{Z}|l_k\le x_k\} [/mm] $
$B= [mm] [x_1+\ldots [/mm] + [mm] x_k] [/mm] = [mm] \{p\in \mathbb{Z}| p\le (x_1+ \ldots + x_k) \} [/mm] $
Sei [mm] $m_1:= max(A_1), \ldots, m_k [/mm] = [mm] max(A_k)$ [/mm]
$n= max(B)$
Zu zeigen: [mm] $m_1 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] m_k \le [/mm] n$
Nach meinen Zusammenstellungen gilt:
[mm] $m_1 \ge l_1, m_2\ge l_2, \ldots m_k \ge l_k$ [/mm]
$n [mm] \ge (x_1 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] x_k) [/mm] $
Daraus folgt sicher:
[mm] $m_1+ \ldots +m_k \ge x_1 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] x_k \le [/mm] n$
Offensichtlich lässt sich nicht allgemein schließen, dass [mm] $m_1\ldots [/mm] + [mm] m_k \le [/mm] n$ gilt.
Ich frage mich nun, was ich noch tun kann bzw. ob man das überhaupt zeigen kann?
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Moin clememum,
> Man zeige de Gültigkeit der Aussage:
> [mm][x_1] +\ldots + [x_k] \le [x_1+\ldots + x_k] \forall x_1,\ldots , x_k \in \mathbb{R}[/mm]
>
> Definiere:
> [mm]A_1= \{l_1\in \mathbb{Z}|l_1\le x_1\}, \ldots, A_k= \{l_k\in \mathbb{Z}|l_k\le x_k\}[/mm]
> [mm]B= [x_1+\ldots + x_k] = \{p\in \mathbb{Z}| p\le (x_1+ \ldots + x_k) \}[/mm]
> Sei [mm]m_1:= max(A_1), \ldots, m_k = max(A_k)[/mm]
> [mm]n= max(B)[/mm]
> Zu zeigen: [mm]m_1 + \ldots + m_k \le n[/mm]
> Nach meinen Zusammenstellungen gilt:
> [mm]m_1 \ge l_1, m_2\ge l_2, \ldots m_k \ge l_k[/mm]
> [mm]n \ge (x_1 + \ldots + x_k)[/mm]
> Daraus folgt sicher:
> [mm]m_1+ \ldots +m_k \ge x_1 + \ldots + x_k \le n[/mm]
>
> Offensichtlich lässt sich nicht allgemein schließen, dass
> [mm]m_1\ldots + m_k \le n[/mm] gilt.
> Ich frage mich nun, was ich noch tun kann bzw. ob man das
> überhaupt zeigen kann?
Betrachte erst den Fall k=2 und zeige folgende Aussage:
[mm] \qquad $[a]+[b]\leq[a+b]$ [/mm] für [mm] $a,b\in\IR\qquad(\*)$
[/mm]
Der Rest folgt durch eine einfache Induktion:
[mm] \qquad $[a]+[b]+[c]\leq [a+b]+[c]\leq[a+b+c]$
[/mm]
Die erste Abschätzung gilt wegen (*), da a und b reelle Zahlen sind,
die zweite Abschätzung gilt wegen (*), da auch a+b und c reelle Zahlen sind.
>
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:56 Sa 26.03.2011 | | Autor: | clemenum |
Hallo Kamaleonti!
Danke für deine Antwort, doch frage ich mich, wie ich denn die Aussage
$[a] +[b] [mm] \le [/mm] [a+b]$ beweisen soll. Glaubst du, dass meine vorgeschlagene Methode zum Ziel führt? Ich habe es mit dieser probiert, komme aber auch nur auf das vorige mit eben nicht k Summanden sondern 2 und das entsprechende lässt sich wieder nicht schließen! :(
Weißt du vielleicht warum?
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Hallo clememum,
> Hallo Kamaleonti!
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> Danke für deine Antwort, doch frage ich mich, wie ich denn
> die Aussage [mm][a] +[b] \le [a+b][/mm] beweisen soll.
Du kannst dich leicht davon überzeugen, dass
[mm] \qquad $0\leq [/mm] a+[a]+b-[b]=S<2$ (S ist die Summe der Nachkommstellen von a und b)
Falls S<1, dann
[mm] \qquad [/mm] $[a]+[b]=a+b-S=[a+b]$
Falls [mm] 1\leq [/mm] S<2, dann
[mm] \qquad $[a]+[b]\leq [/mm] a+b-S+1=[a+b]$
Aus beiden Fällen folgt die Behauptung.
Die Begründung lässt sich sicherlich noch verbessern.
> Glaubst du, dass meine
> vorgeschlagene Methode zum Ziel führt? Ich habe es mit
> dieser probiert, komme aber auch nur auf das vorige mit
> eben nicht k Summanden sondern 2 und das entsprechende
> lässt sich wieder nicht schließen! :(
> Weißt du vielleicht warum?
Das Problem ist, dass deine Variante bisher nicht dazu führt, dass du die Ausdrücke [a]+[b] und [a+b] in Relation bringst.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:54 Sa 26.03.2011 | | Autor: | clemenum |
Ich hätte es so gemacht:
[mm] $A_1:= \{l_1\in \mathbb{Z} | l_1\le a\}, A_2:= \{l_2\in \mathbb{Z}|l_2\le b \} [/mm] $
$ [mm] B:=\{l_3\in \mathbb{Z}| l_3\le a+b\} [/mm] $
[mm] $m_1=max(A_1) \Rightarrow l_1\le m_1 \le [/mm] a$
[mm] $m_2= max(A_2) \Rightarrow l_2\le m_2\le [/mm] b $
$n = max(B) [mm] \Rightarrow l_3\le n\le [/mm] a+b $
Zu zeigen wäre nun: $ [mm] m_1+m_2\le [/mm] n$
Addiert man nun diese Ungleichungen, so folgt:
[mm] $l_1+l_2\le m_1+m_2 \le a+b\ge [/mm] n$
Daraus kann aber (leider) nicht schließen, dass [mm] $a+b\le [/mm] n$ gilt.
Was mache ich falsch?
Ich habe hier doch die Ausdrücke in Relation gebracht, nur lässt sich nichts (eindeutiges) schließen! ;(
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> Ich hätte es so gemacht:
> [mm]A_1:= \{l_1\in \mathbb{Z} | l_1\le a\}, A_2:= \{l_2\in \mathbb{Z}|l_2\le b \}[/mm]
>
> [mm]B:=\{l_3\in \mathbb{Z}| l_3\le a+b\}[/mm]
>
>
> [mm]m_1=max(A_1) \Rightarrow l_1\le m_1 \le a[/mm]
> [mm]m_2= max(A_2) \Rightarrow l_2\le m_2\le b[/mm]
> [mm]n = max(B) \Rightarrow l_3\le n\le a+b[/mm]
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> Zu zeigen wäre nun: [mm]m_1+m_2\le n[/mm]
>
> Addiert man nun diese Ungleichungen, so folgt:
> [mm]l_1+l_2\le m_1+m_2 \le a+b\ge n[/mm]
> Daraus kann aber (leider) nicht schließen, dass [mm]a+b\le n[/mm]
> gilt.
> Was mache ich falsch?
Nichts.
>
> Ich habe hier doch die Ausdrücke in Relation gebracht, nur
> lässt sich nichts (eindeutiges) schließen! ;(
Aber nicht direkt und deswegen hilft das nicht viel zum Beweis der Aussage. Schau einmal, was Teufel und ich vorangehend geschrieben haben 
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:11 Sa 26.03.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Für 2 Zahlen würde ich das einfach so machen:
Du kannst ja jede Zahl x darstellen als [mm] x_1+x_2, [/mm] wobei [mm] x_1 [/mm] die größte ganze Zahl kleiner als x ist (also [x]) und [mm] x_2 [/mm] der Rest der noch zu x fehlt, also x-[x]. Es gilt dann natürlich [mm] $0\le x_2 [/mm] <1$. Außerdem gilt noch [mm] [x_1+x_2]=x_1. [/mm] Vielleicht müsstest du die oben genannten Sachen noch zeigen, aber das ist glaube ich nicht so schwierig.
Also ist jetzt [mm] [a]+[b]=[a_1+a_2]+[b_1+b_2]=a_1+b_1.
[/mm]
Auf der anderen Seite ist [mm] [a+b]=[a_1+a_2+b_1+b_2]. [/mm] Nun können im Prinzip nur 2 Fälle auftreten:
Fall 1: [mm] a_2+b_2\ge [/mm] 1 oder
Fall 2: [mm] a_2+b_2<1.
[/mm]
In Fall 1 ist [mm] [a+b]=a_1+b_1+1 [/mm] und in Fall 2 ist [mm] [a+b]=a_1+b_1.
[/mm]
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