Bedingungen für Konvergenz? < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:37 Mi 22.01.2014 | | Autor: | laupl |
Hallo!
Ich habe eine Frage, die sich auf ein Praxisbeispiel bezieht. An einer Stelle habe ich ein ganz konkretes Problem und hoffe hier auf Hilfe.
Es geht um folgende Formel:
[mm]
A=\sum_{m=1}^N \sum_{n=1}^N Re\left[ \bruch{e^{-j*a_n}+e^{-j*b_n}}{e^{-j*c_n}+e^{-j*d_n}}\bruch{e^{-j*e_m}+e^{-j*f_m}}{e^{-j*g_m}+e^{-j*h_m}} \right]
[/mm]
Dabei gilt:
[mm]
N \in \IN \quad ; \quad a,b,c,d,e,f,g,h \in \IR=[-pi,pi)
[/mm]
Die Winkel [mm]a,b,c,d,e,f,g,h[/mm] haben alle unterschiedliche Werte.
Und [mm]j[/mm] ist die imaginäre Einheit.
Ich möchte nun gerne wissen, ob es Bedingungen für die Winkel [mm]a,b,c,d,e,f,g,h[/mm] gibt, unter welchen [mm]A[/mm] für [mm]N>>1[/mm] gegen einen bestimmten Wert (0?) konvertiert. Also, ob das z.B. bei einer Abhängigkeit der Winkel gegeben ist.
Kann auch sein, dass [mm]A[/mm] nie gegen einen bestimmten Wert konvertiert. Dafür bräuchte ich dann aber auch eine Begründung.
Da ich kein Mathematiker bin, entschuldige ich mich jetzt schon mal für unsaubere Formulierungen. Wenn etwas unklar ist, einfach nachfragen.
Danke, Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:30 Mi 22.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Hallo!
> Ich habe eine Frage, die sich auf ein Praxisbeispiel
> bezieht. An einer Stelle habe ich ein ganz konkretes
> Problem und hoffe hier auf Hilfe.
>
> Es geht um folgende Formel:
> [mm]
A=\sum_{m=1}^N \sum_{n=1}^N Re\left[ \bruch{e^{-j*a_n}+e^{-j*b_n}}{e^{-j*c_n}+e^{-j*d_n}}\bruch{e^{-j*e_m}+e^{-j*f_m}}{e^{-j*g_m}+e^{-j*h_m}} \right]
[/mm]
>
> Dabei gilt:
> [mm]
N \in \IN \quad ; \quad a,b,c,d,e,f,g,h \in \IR=[-pi,pi)
[/mm]
Du meinst sicher:
[mm] N\in\IN, a,b,c,d,e,f,g,h\in(-\pi,\pi)
[/mm]
> Die Winkel [mm]a,b,c,d,e,f,g,h[/mm] haben alle unterschiedliche
> Werte.
> Und [mm]j[/mm] ist die imaginäre Einheit.
>
> Ich möchte nun gerne wissen, ob es Bedingungen für die
> Winkel [mm]a,b,c,d,e,f,g,h[/mm] gibt, unter welchen [mm]A[/mm] für [mm]N>>1[/mm]
> gegen einen bestimmten Wert (0?) konvertiert. Also, ob das
> z.B. bei einer Abhängigkeit der Winkel gegeben ist.
> Kann auch sein, dass [mm]A[/mm] nie gegen einen bestimmten Wert
> konvertiert. Dafür bräuchte ich dann aber auch eine
> Begründung.
Gegeben sei eine Folge [mm] (a_n)_{n\in\IN} [/mm] mit [mm] a_n\in\IC. [/mm]
Die entsprechende Reihe mit den Gliedern [mm] a_n [/mm] ist das Symbol
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n [/mm]
Die Zahlen
[mm] S_1=a_1 [/mm]
[mm] S_2=a_1+a_2 [/mm]
[mm] \ldots [/mm]
[mm] S_n=\summe_{k=1}^{n}a_n [/mm]
heißen Partialsummen der Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n. [/mm]
Diese bilden eine weitere Folge [mm] (S_n)_{n\in\IN}, [/mm] die sogenannte Partialsummenfolge.
Die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n [/mm] heißt konvergent, falls ihre Partialsummenfolge [mm] (s_n)_{n\in\IN} [/mm] konvergiert.
Die Summe der Reihe ist der Grenzwert der Folge [mm] (S_n)_{n\in\IN}. [/mm]
Es gilt bei Konvergenz:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n=a:=\limes_{N\rightarrow\infty}S_N=\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{n=1}^{N}a_n
[/mm]
Das Symbol [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n [/mm] hat demnach zwei verschiedene Bedeutungen.
Die Reihe als solche und NUR im Konvergenzfall die Summe der Reihe.
Eine Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n [/mm] kann nur dann konvergieren, wenn ihre Glieder [mm] (a_n)_{n\in\IN} [/mm] eine Nullfolge bilden.
Sei also [mm] a_n:=Re\left[ \bruch{e^{-j*a_n}+e^{-j*b_n}}{e^{-j*c_n}+e^{-j*d_n}}\bruch{e^{-j*e_m}+e^{-j*f_m}}{e^{-j*g_m}+e^{-j*h_m}} \right].
[/mm]
Ist [mm] a_n [/mm] eine Nullfolge?
> Da ich kein Mathematiker bin, entschuldige ich mich jetzt
> schon mal für unsaubere Formulierungen. Wenn etwas unklar
> ist, einfach nachfragen.
>
>
> Danke, Grüße
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:50 Do 23.01.2014 | | Autor: | laupl |
Hi,
vielen Dank für die Antwort.
Also [mm]a_n[/mm] ist keine Nullfolge. Der Index [mm]n[/mm] hat keinen direkten Einfluss auf den Wert von [mm]a_n[/mm]. Der Index bedeutet lediglich, dass es sich bei jedem Summanden um andere, zufällige Winkel handelt.
Ich bin mir aber nicht ganz sicher, ob die Frage damit geklärt ist. Speziell verstehe ich diese Anmerkung nicht:
> Das Symbol $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n [/mm] $ hat demnach zwei verschiedene Bedeutungen.
> Die Reihe als solche und NUR im Konvergenzfall die Summe der Reihe.
Die beiden Summenzeichen waren folgendermaßen gemeint: Der Index $n$ läuft von 1 bis $N$, während der Index $m$ seinen Startwert von 1 beibehält. Nachdem $n=N$, erhöht sich $m$ um 1 und $n$ läuft wieder alle Werte durch. Und so weiter...
So, wie es beispielsweise ![[]](/images/popup.gif) hier unter Punkt 6 beschrieben ist.
Hattest du das auch so verstanden? Oder habe ich das schlecht formuliert und deine Erklärung gilt in diesem Fall nicht?
Falls ersteres zutrifft, dann habe ich das wohl noch nicht verstanden...
Eine kurze Antwort wäre jedenfalls super, damit ich mir nicht unnötig den Kopf zerbreche.
Danke, Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:25 Do 23.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Morgen,
> Hi,
> vielen Dank für die Antwort.
>
> Also [mm]a_n[/mm] ist keine Nullfolge. Der Index [mm]n[/mm] hat keinen
> direkten Einfluss auf den Wert von [mm]a_n[/mm]. Der Index bedeutet
> lediglich, dass es sich bei jedem Summanden um andere,
> zufällige Winkel handelt.
>
> Ich bin mir aber nicht ganz sicher, ob die Frage damit
> geklärt ist. Speziell verstehe ich diese Anmerkung nicht:
> > Das Symbol [mm]\summe_{n=1}^{\infty}a_n[/mm] hat demnach zwei
> verschiedene Bedeutungen.
> > Die Reihe als solche und NUR im Konvergenzfall die Summe
> der Reihe.
> Die beiden Summenzeichen waren folgendermaßen gemeint:
> Der Index [mm]n[/mm] läuft von 1 bis [mm]N[/mm], während der Index [mm]m[/mm] seinen
> Startwert von 1 beibehält. Nachdem [mm]n=N[/mm], erhöht sich [mm]m[/mm] um
> 1 und [mm]n[/mm] läuft wieder alle Werte durch. Und so weiter...
> So, wie es beispielsweise
> hier
> unter Punkt 6 beschrieben ist.
Du hast von [mm] $N\in\IN$ [/mm] geredet und von Konvergenz der Reihe,
deshalb bin ich davon ausgegangen,
dass du ursprünglich sowas in der Art hattest:
[mm] \summe_{m}^{\infty}\summe_{n}^{\infty}a_n
[/mm]
Deswegen wollte ich dir auch erklären,
dass es einen Unterschied gibt zwischen
der Reihe als solche und nur im Konvergenzfall die Summe der Reihe.
Das betrifft zwar nicht deine Frage direkt,
aber um dir den Unterschied deutlich zu machen folgendes Beispiel:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}n=1+2+\ldots
[/mm]
[mm] \summe_{n=1}^{N}n=1+2+\ldots+N
[/mm]
Merkst du den Unterschied?
Die unendliche Reihe
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}n
[/mm]
divergiert, denn die Folge [mm] a_n=n [/mm] ist keine Nullfolge!
Hier kannst du also nichts berechnen!
Die endliche Summe
[mm] \summe_{n=1}^{N}n
[/mm]
betreffen keine Probleme.
Es folgt sogar über vollständige Induktion folgende Eigenschaft:
[mm] \summe_{n=1}^{N}n=\frac{N(N+1)}{2} [/mm] für alle [mm] N\in\IN
[/mm]
Du musst also genau unterscheiden!
Ich weiß leider nicht was du studierst,
aber falls du programmieren kannst,
dann stell dir eine endliche Summe als Schleife vor,
aber eine unendliche Reihe stellst du dir nicht als Schleife vor.
Das sind zwei verschiedene Paar Schuhe 
> Hattest du das auch so verstanden? Oder habe ich das
> schlecht formuliert und deine Erklärung gilt in diesem
> Fall nicht?
> Falls ersteres zutrifft, dann habe ich das wohl noch nicht
> verstanden...
Du kannst also beliebige Winkel nehmen und ein festes [mm] $N\in\IN$ [/mm] und ausrechnen.
Es geht hier aber nicht direkt um Konvergenz.
> Eine kurze Antwort wäre jedenfalls super, damit ich mir
> nicht unnötig den Kopf zerbreche.
>
> Danke, Grüße
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:00 Do 23.01.2014 | | Autor: | laupl |
Hey,
danke noch mal.
Also dann habe ich - wie bereits befürchtet - die erste Frage nicht sauber gestellt. Sorry dafür.
Ja, ich kann programmieren. Und ja, es handelt sich um endliche Summen, die tatsächlich in zwei verschachtelten Schleifen berechnet werden.
Klar kann ich für ein festes $N$ beliebige Winkel einsetzen und schauen was passiert. Momentan sehe ich, dass $A$ nicht konvergiert. Meine Vermutung (Hoffnung) war aber, dass es das unter bestimmten Voraussetzungen für die Winkel doch tut.
Aber eine solche Voraussetzung gibt es dann wohl nicht, richtig?
Wenn es also tatsächlich so ist, dass $A$ für beliebige Winkel nie konvergiert, wie kann ich das mathematisch korrekt zeigen?
Bei deinen Beispielen hat der Wert der Zählvariable einen "direkten Einfluss" auf die Summe. In meinem Fall aber nicht. Es ist nur ein Index.
Vielleicht formuliere ich es mal anders: Die Summanden der Doppelsumme können positiv oder negativ sein. Meine erste Vermutung war, dass sich die Summanden im Mittel gegenseitig "auslöschen" und am Ende Null rauskommt. Das passiert aber nicht. Warum?
Was meinst du mit "Die endliche Summe betreffen keine Probleme"?
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:35 Do 23.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo nochmal,
> Hey,
> danke noch mal.
>
> Also dann habe ich - wie bereits befürchtet - die erste
> Frage nicht sauber gestellt. Sorry dafür.
>
> Ja, ich kann programmieren. Und ja, es handelt sich um
> endliche Summen, die tatsächlich in zwei verschachtelten
> Schleifen berechnet werden.
Gut
> Klar kann ich für ein festes [mm]N[/mm] beliebige Winkel einsetzen
> und schauen was passiert.
Du hast doch folgendes gegeben:
[mm] \sum_{m=1}^N \sum_{n=1}^N Re\left[ \bruch{e^{-j\cdot{}a_n}+e^{-j\cdot{}b_n}}{e^{-j\cdot{}c_n}+e^{-j\cdot{}d_n}}\bruch{e^{-j\cdot{}e_m}+e^{-j\cdot{}f_m}}{e^{-j\cdot{}g_m}+e^{-j\cdot{}h_m}} \right]
[/mm]
Das einzige was du hier einsetzt ist ein [mm] $N\in\IN$.
[/mm]
Deine Winkel sind fest, es gilt für die Winkel:
[mm] \alpha,\beta,\ldots,\theta\in\[-\pi,\pi)
[/mm]
[mm] \alpha\not=\beta\not=\ldots\not=\theta
[/mm]
Was machen denn die Indizes mit den Winkeln?
Was ist [mm] \alpha_1,\ldots,\alpha_N [/mm] ?
> Momentan sehe ich, dass [mm]A[/mm] nicht
> konvergiert. Meine Vermutung (Hoffnung) war aber, dass es
> das unter bestimmten Voraussetzungen für die Winkel doch
> tut.
> Aber eine solche Voraussetzung gibt es dann wohl nicht,
> richtig?
Genau.
Wenn du zwei verschachtelte Schleifen hast, dann erhältst du,
unter der Voraussetzung, dass du keine Endlosschleife hast, immer eine Lösung.
So ähnlich ist es auch hier.
Es gilt für alle [mm] N\in\IN [/mm] folgendes:
[mm] \summe_{k=1}^{N}k=1+2+\ldots+N=\frac{N(N+1)}{2}
[/mm]
Das heißt aber nicht, das die Summe irgendwie konvergiert.
Die Herleitung der Formel ensteht nicht durch die folgende Überlegung:
[mm] \limes_{N\rightarrow\infty}\summe_{k=1}^{N}k=\limes_{N\rightarrow\infty}1+2+\ldots+N=\frac{N(N+1)}{2}
[/mm]
Das macht keinen Sinn!
> Wenn es also tatsächlich so ist, dass [mm]A[/mm] für beliebige
> Winkel nie konvergiert, wie kann ich das mathematisch
> korrekt zeigen?
Du redest schon wieder von Konvergenz.
Machen wir doch ein einfaches Beispiel:
Sei [mm] A=a_{i,j} [/mm] eine reelle [mm] $3\times [/mm] 3$ Matrix, dann gilt:
[mm] \summe_{i=1}^{3}\summe_{j=1}^{3}a_{i,j}=a_{1,1}+a_{1,2}+a_{1,3}+a_{2,1}+a_{2,2}+a_{2,3}+a_{3,1}+a_{3,2}+a_{3,3}
[/mm]
Wir addieren also alle Elemente der Matrix $A$.
Wieso sollte das konvergieren?
Es ist doch eine endliche "Schleife".
Keine Endlosschleife.
Was kann da schon passieren?
> Bei deinen Beispielen hat der Wert der Zählvariable einen
> "direkten Einfluss" auf die Summe. In meinem Fall aber
> nicht. Es ist nur ein Index.
Das würde heißen, dass für alle [mm] n\in\IN [/mm] gilt:
[mm] \alpha_1=\ldots=\alpha_n
[/mm]
Sehe ich das richtig?
Dann musst du aber deine Reihe ändern!
Dein [mm] a_{n,m} [/mm] ändert sich dann nicht mehr!
Du willst also [mm] a_{n,m} [/mm] $N$ mal mit sich selber addieren und das dann nochmal?
Das wäre trivial.
> Vielleicht formuliere ich es mal anders: Die Summanden der
> Doppelsumme können positiv oder negativ sein. Meine erste
> Vermutung war, dass sich die Summanden im Mittel
> gegenseitig "auslöschen" und am Ende Null rauskommt. Das
> passiert aber nicht. Warum?
Kommt auf die Winkel an, siehe oben.
> Was meinst du mit "Die endliche Summe betreffen keine
> Probleme"?
Siehe oben.
> Grüße
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:06 Do 23.01.2014 | | Autor: | laupl |
Hi,
gut, konvergieren war vielleicht nicht der richtige Ausdruck. Ich meinte tatsächlich, dass sich die Werte gegenseitig aufheben müssten s.o..
Dein Beispiel mit der Matrix war genau richtig. So war das gemeint.
Die Indizes greifen auf verschiedene Winkel zu.
Und wenn die Winkel gleichverteilt sind, dann wird die Doppelsumme tatsächlich auch im Programm Null. Mein Problem war, dass ich normalverteilte Winkel angenommen hatte. Damit konnte ich aufgrund der Rechenleistung $N$ nicht genügend groß wählen um zu sehen, dass $A$ auch hier Null wird.
Hat sich also erledigt. Vielen Dank für die Hilfe!
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:19 Do 23.01.2014 | | Autor: | laupl |
Hi nochmal,
bitte meine letzte Mitteilung vergessen. Ich hatte einen Tippfehler. Deswegen kam die erwartete Null raus.
Nach Korrektur kommt jetzt wieder etwas von Null verschiedenes raus. Das verstehe ich nicht.
Wenn ich in die Gleichung für $A$ für die Winkel beliebige Werte aus dem Bereich von [mm] $-\pi$ [/mm] bis [mm] $\pi$ [/mm] einsetze, können als Summanden sowohl positive, als auch negative Werte rauskommen. Richtig?
Und wenn ich $N$ nun genügend groß wähle, müsste doch Null rauskommen. Bzw. zumindest ein sehr kleiner Wert. Oder?
Irgendwo mache ich wohl einen Denkfehler. Bin dankbar über jeden Hinweis.
Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:56 Do 23.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hi,
> Hi nochmal,
> bitte meine letzte Mitteilung vergessen. Ich hatte einen
> Tippfehler. Deswegen kam die erwartete Null raus.
> Nach Korrektur kommt jetzt wieder etwas von Null
> verschiedenes raus. Das verstehe ich nicht.
>
> Wenn ich in die Gleichung für [mm]A[/mm] für die Winkel beliebige
> Werte aus dem Bereich von [mm]-\pi[/mm] bis [mm]\pi[/mm] einsetze, können
> als Summanden sowohl positive, als auch negative Werte
> rauskommen. Richtig?
Aus welches Intervall sind die Winkel genau?
[mm] [-\pi,\pi]\subset\IR
[/mm]
[mm] (-\pi,\pi)\subset\IR
[/mm]
In deinem Anfangspost steht:
[mm] [-\pi,\pi)
[/mm]
> Und wenn ich [mm]N[/mm] nun genügend groß wähle, müsste doch
> Null rauskommen. Bzw. zumindest ein sehr kleiner Wert.
> Oder?
Kommt drauf an.
Seien [mm] \alpha_n,\ldots,\theta_n\in[-\pi,\pi] [/mm] mit [mm] n\in\IN [/mm] und [mm] \alpha_n\not=\ldots\not=\theta_n [/mm] für alle [mm] n\in\IN.
[/mm]
Sei [mm] \phi [/mm] ein beliebiger Winkel aus den vorgegebenen, dann gilt:
[mm] $-1\le e^{i\phi}\le [/mm] 1$
[mm] $-1\le e^{-i\phi}\le [/mm] 1$
Betrachte nun folgendes:
[mm] Re\left[ \bruch{e^{-j\cdot{}a_n}+e^{-j\cdot{}b_n}}{e^{-j\cdot{}c_n}+e^{-j\cdot{}d_n}}\bruch{e^{-j\cdot{}e_m}+e^{-j\cdot{}f_m}}{e^{-j\cdot{}g_m}+e^{-j\cdot{}h_m}} \right] [/mm] mit [mm] n,m\in\IN
[/mm]
Wie du nun sehen kannst ist es abhängig von den Winkeln!
Es kann hier alles passieren!
> Irgendwo mache ich wohl einen Denkfehler. Bin dankbar
> über jeden Hinweis.
>
> Grüße
Gruß
DieAcht
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