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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 00:31 Mo 14.04.2008 | | Autor: | Theoretix |
| Aufgabe | Gegeben sind die Funktionen f und g mit [mm] f(x)=x^{2}-4x+6
[/mm]
und [mm] g(x)=-x^{2}+2x. [/mm] Zeigen sie, dass für alle x [mm] \in [/mm] reelle Zahlen die Bedingung
f(x)>g(x) gilt. Bestimmen sie die Stelle, an der die Differenz der Funktionswerte
d(x)=f(x)-g(x) am kleinsten ist. |
Hallo,
Ich komme grade überhaupt nicht weiter, mir fehlt jeglicher Ansatz.
Kann mir bitte jemand einen Tipp geben,
wie ich die Aufgabe lösen kann!?
Danke schonmal im Vorraus,
MFG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:50 Mo 14.04.2008 | | Autor: | Laserua |
Hallo Theoretix!
1.)Um zu zeigen, dass f(x)>g(x) gilt, nimmst du einfach die Funktion f(x) und setzt sie > die Funktion g(x).
Es gilt dann:
f(x)>g(x)
x²-4x+6>-x²+2x
Setzt du unendlich große positive Zahlen bzw. unendlich große negative Zahlen ein, so siehst du, dass die Ungleichung erfüllt ist.
2.)Um die Stelle zu bestimmen, an der die Differenz der Funktionswerte am kleinsten ist, stellst du eine dritte Funktion auf, die folgendermaßen aussehen muss:
d(x)=f(x)-g(x)
d(x)=x²-4x+6-(-x²+2x)
Da der Abstand minimal sein muss, musst du nun den Tiefpunkt der Funktion berechnen!
Gruß,
Laserua
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 14:46 Mo 14.04.2008 | | Autor: | Marc |
Hallo Laserua,
> 1.)Um zu zeigen, dass f(x)>g(x) gilt, nimmst du einfach die
> Funktion f(x) und setzt sie > die Funktion g(x).
> Es gilt dann:
> f(x)>g(x)
> x²-4x+6>-x²+2x
> Setzt du unendlich große positive Zahlen bzw. unendlich
> große negative Zahlen ein, so siehst du, dass die
> Ungleichung erfüllt ist.
Das reicht allerdings nicht, um die Ungleichung für alle reellen Zahlen (wie behauptet) zu zeigen.
Um es für alle zu zeigen, könnte man so vorgehen:
$x²-4x+6>-x²+2x$
[mm] $\gdw\ 2x^2-6x+6>0$
[/mm]
[mm] $\gdw\ x^2-3x+3>0$
[/mm]
quadratische Ergänzung:
[mm] $\gdw\ x^2-3x+2.25-2.25+3>0$
[/mm]
[mm] $\gdw\ (x-1,5)^2+0.75>0$
[/mm]
Und hier sieht man sehr schön, dass die Ungleichung für alle x gilt, denn [mm] $(x-1,5)^2$ [/mm] ist für alle x [mm] $\ge0$.
[/mm]
Viele Grüße,
Marc
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:59 Mo 14.04.2008 | | Autor: | Theoretix |
Vielen Dank für die Hilfe!
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