Bedingung endlicher Erw.Wert < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:54 Sa 19.03.2011 | | Autor: | Mathec |
Hallo Leute!
Ich bin des öfteren auf folgende Aussage gestoßen, die die Endlichkeit des Erwartungswertes betreffen:
[mm] X<\infty \Rightarrow [/mm] E(X)< [mm] \infty.
[/mm]
Meiner Meinung nach, dürfte statt [mm] "\Rightarrow" [/mm] ein [mm] "\gdw" [/mm] stehen, denn wenn man sich überlegt, dass der Erwartungswert als Integral definiert ist, so folgt aus der Endlichkeit desselben, dass X endlich sein muss.
Könnt ihr mir diese Aussage bestätigen?
Vielen Dank und Liebe Grüße
Mathec
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:01 Sa 19.03.2011 | | Autor: | vivo |
> [mm]X<\infty \Rightarrow[/mm] E(X)< [mm]\infty.[/mm]
meinst du [mm] $X<\infty [/mm] $ P fast sicher [mm] $\Rightarrow \int [/mm] X dP < [mm] \infty$
[/mm]
und überlegst jetzt ob auch
[mm] $\int [/mm] X dP < [mm] \infty$ $\Rightarrow X<\infty [/mm] $ P fast sicher
gilt?
[mm] $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbf{P})=(\{-1,1\}, \mathcal{P}\{-1,1\} [/mm] , [mm] \mathcal{U})$
[/mm]
also mit Gleichverteilung
Betrachte die Folge [mm] $X_n(\omega): -n1_{\{\omega = -1\}}(\omega)+n1_{\{\omega = 1\}}(\omega)$
[/mm]
[mm] $\int X_n (\omega) [/mm] dP = [mm] -n\frac{1}{2} +n\frac{1}{2} [/mm] = 0$ für alle $ n [mm] \in \IN$
[/mm]
aber [mm] $X_n(w)$ [/mm] nicht beschränkt für $n [mm] \to \infty$
[/mm]
gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:33 So 20.03.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
jedes [mm] $X_n$ [/mm] ist beschränkt. Die Folge der [mm] $X_n$ [/mm] ist nicht beschränkt, aber die spielt keine Rolle.
Ein einfaches Gegenbeispiel zu
[mm] $E(X)<\infty\ \Rightarrow$ [/mm] X beschränkt
ist die Normalverteilung.
ciao
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:29 So 20.03.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> $ [mm] X<\infty \Rightarrow [/mm] E(X)< [mm] \infty. [/mm] $
Ich seh nicht wie das stimmen soll. Z.B. Cauchy-Verteilung ist auf [mm] $\IR$, [/mm] also [mm] $X<\infty$ [/mm] und es gibt keinen EW. Spezieller gilt für Cauchy-verteiltes Y:
[mm] $|Y|<\infty,\ E(|Y|)=\infty$
[/mm]
Wenn X *beschränkt* ist, dann ist der EW endlich.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:27 Mo 21.03.2011 | | Autor: | Mathec |
Hi!
Ihr meint also, dass sowohl die Hin- als auch die Rückrichtung nicht richtig sind??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:39 Mo 21.03.2011 | | Autor: | fred97 |
Aus Wikipedia:
"Allgemein wird der Erwartungswert als das Integral bezüglich des Wahrscheinlichkeitsmaßes definiert: Ist X eine P-integrierbare oder P-quasiintegrierbare Zufallsvariable von einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,Σ,P) nach [mm] (\overline{\IR},\mathcal{B}), [/mm] wobei [mm] \mathcal{B} [/mm] die Borelsche σ-Algebra über [mm] \overline{\IR}:=\IR\cup\{-\infty,\infty\} [/mm] ist, so definiert man
[mm] \operatorname{E}(X) [/mm] = [mm] \int_\Omega [/mm] X [mm] \,\mathrm{d}P [/mm] = [mm] \int_\Omega X(\omega)\mathrm{d}P(\omega)\,.
[/mm]
Die Zufallsvariable X besitzt genau dann einen Erwartungswert, wenn sie quasiintegrierbar ist, also
[mm] \min\left\{\int_\Omega X^+(\omega)dP(\omega),\int_\Omega X^-(\omega)dP(\omega)\right\}< \infty
[/mm]
gilt, wobei X + und X − den Positiv- sowie den Negativteil von X bezeichnen. Er ist genau dann endlich wenn X integrierbar ist, also
[mm] \max\left\{\int_\Omega X^+(\omega)dP(\omega),\int_\Omega X^-(\omega)dP(\omega)\right\}< \infty
[/mm]
gilt. In diesem Fall schreiben viele Autoren, der Erwartungswert existiere oder X sei eine Zufallsvariable mit existierendem Erwartungswert, und schließen damit den Fall [mm] \infty [/mm] bzw. [mm] -\infty [/mm] aus."
Bedenke: eine integrierbare Funktion ist fast überall endlich !!
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:09 Mo 21.03.2011 | | Autor: | Mathec |
Hallo Fred,
den Artikel habe ich auch gelesen!
Heißt das jetzt also mit deinem Hinweiß, dass die Äquivalenz doch gilt?!
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:19 Mo 21.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
> den Artikel habe ich auch gelesen!
> Heißt das jetzt also mit deinem Hinweiß, dass die
> Äquivalenz doch gilt?!
Nein. Blech hat Dir ein Beispiel gegeben mit: X < [mm] \infty, [/mm] aber E(X)= [mm] \infty
[/mm]
Auf der anderen Seite ist eine integrierbare Funktionen nur fast überall endlich.
FRED
> Danke
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:23 Di 22.03.2011 | | Autor: | h500 |
Probiere es jetzt auch mal:
(a) [mm] $X<\infty \Rightarrow EX<\infty$?
[/mm]
Wenn $X$ sicher (i.e. fuer alle [mm] $\omega$) [/mm] endlich ist, dann existiert ein $M$ so dass [mm] |X|\leq [/mm] M und somit ist [mm] $|EX|\leq [/mm] E|X| [mm] \leq [/mm] M [mm] \int_{\Omega}dP=M$, [/mm] also existiert der Erwartungswert.
Wenn [mm] $X<\infty$ [/mm] fast sicher, dann muss nicht auch der Erwartungswert endlich sein. Dazu folgendes Gegenbeispiel:
[mm] X=2^{n} [/mm] mit Wahrscheinlichkeit [mm] 2^{-n}, $n\in \mathbb{N} [/mm] $
(b) [mm] $X<\infty \Leftarrow EX<\infty$?
[/mm]
Dazu nehmen wir mal an dass [mm] $X\geq [/mm] 0$ und [mm] $EX<\infty$. [/mm] Dann
[mm] $\infty [/mm] > [mm] E\left[X\right]\geq E\left[X\chi_{A_{m}}\left(X\right)\right]\geq [/mm] m [mm] P\left[A_{m}\right]$
[/mm]
mit [mm] $A_{m}:=\left\{ X\geq m\right\}$. [/mm] Dividiert man durch $m$, dann erhaelt man [mm] $P\left[A_{m}\right]\rightarrow0$. [/mm] Jetzt ist aber [mm] $P\left[A_{m}\right]=P\left[\bigcup_{n=m}^{\infty}A_{n}\right]$ [/mm] und somit [mm] $P\left[\limsup_{m\rightarrow\infty}A_{m}\right]=0$. [/mm] Daher ist $X$ fast sicher endlich.
Fuer generelles $X$ kann man wie oben $|X|$ einsetzen.
Dass allerdings $X$ sicher endlich ist, kann man nur durch die Info [mm] $EX<\infty$ [/mm] nicht schliessen. Ein Gegenbeispiel ist z.B. eine normalverteilte Zufallsvariable. Dort existiert kein $M$ wie in Teil (a).
Liebe Gruesse
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:22 Mi 23.03.2011 | | Autor: | Juge |
Jetzt bin ich auch etwas verwirrt.
ich hatte in einer Vorlesung zu Wahrscheinlichkeitsrechnung folgenden Satz
"Falls [mm]X[/mm] fast sicher beschränkt ist auf [mm]\Omega[/mm], dann ist [mm]\mathbb{E}|X|<\infty[/mm]."
Stimmt das so denn überhaupt?
Noch eine Frage zur umgekehrten Richtung.
Falls [mm]X>0 \; \forall \; \omega \in \Omega[/mm] und [mm]\mathbb{E}X<\infty[/mm], dann ist [mm]X<\infty[/mm] fast sicher.
Kann ich das so folgern? das ist doch eigentlich ein bekanntes Resultat aus der Maßtheorie. Oder etwa nicht?
Vielen Dank schon einmal!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:08 Mi 23.03.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> "Falls $ X $ fast sicher beschränkt ist auf $ [mm] \Omega [/mm] $, dann ist $ [mm] \mathbb{E}|X|<\infty [/mm] $."
Ja.
> Kann ich das so folgern?
Ja. X>0 brauchst Du übrigens nicht.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:05 Do 24.03.2011 | | Autor: | Mathec |
Hallo Blech!
Jetzt bin ich tatsächlich etwas verwirrt :-(
Laut deiner Bestätigung müsste jetzt also die Äquivalenz gelten, oder etwa doch nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:14 Do 24.03.2011 | | Autor: | fred97 |
"fast sicher beschränkt" oder "fast sicher endlich" , etc ... bedeutet doch nicht "beschränkt" bzw. "endlich", sondern.... ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:13 Do 24.03.2011 | | Autor: | Mathec |
Hallo nochmal!
Ich habe gerade gesehn, dass Blech ganz oben schreibt "ich weiß nicht wie das stimmen soll" und weiter unten schreibst du zu dem gleichen Fall "ja stimmt, X>0 brauchst du aber nicht". Kann mir jetzt nochmal bitte jemand erklären, was richtig ist??
wäre sehr dankbar!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:16 Do 24.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo nochmal!
> Ich habe gerade gesehn, dass Blech ganz oben schreibt "ich
> weiß nicht wie das stimmen soll" und weiter unten
> schreibst du zu dem gleichen Fall "ja stimmt, X>0 brauchst
> du aber nicht". Kann mir jetzt nochmal bitte jemand
> erklären, was richtig ist??
was bedeutet denn " ..... fast sicher ..." ?
FRED
> wäre sehr dankbar!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:40 Do 24.03.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Ich habe gerade gesehn, dass Blech ganz oben schreibt "ich weiß nicht wie das stimmen soll"
ja, aber zu einer völlig anderen Aussage. Ich hab explizit geschrieben, daß $X$ beschränkt ausreicht. (und damit natürlich auch f.s. beschränkt. Du kannst hinter so ziemlich jede Aussage über ZV ein f.s. kleben.)
Ich wiederhol mich gerne:
X beschränkt f.s. [mm] $\Rightarrow$ [/mm] EW endlich
EW endlich [mm] $\Rightarrow$ [/mm] X endlich f.s.
Endlich und beschränkt ist nicht das gleiche.
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:29 Fr 25.03.2011 | | Autor: | Mathec |
Achsooo: hab die kleine, aber sehr feine Mitteilung "f.s." überlesen!
Nun ist alles klar 
DANKE euch allen!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:13 Mi 23.03.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
Arbeiten wir auf [mm] (\IR, \mathcal{B}, \lambda).
[/mm]
[mm] $X(\omega):= \omega^2$
[/mm]
dann ist [mm] X<\infty, [/mm] weil alle [mm] $\omega<\infty$. [/mm] Aber es ist trotzdem nicht beschränkt.
ciao
Stefan
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