Bedingte Wahrscheinlichkeit < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:25 Mo 23.09.2013 | | Autor: | starki |
| Aufgabe | Klaus nimmt an einer Multiple–Choice–Klausur teil. Jede Aufgabe hat 5 mögliche Antworten, von denen genau eine korrekt ist. Wenn Klaus die Antwort zu einer Frage weiß, beantwortet er sie richtig, wenn er die Antwort nicht weiß, kreuzt er zufällig eine der 5 möglichen Antworten an (Gleichverteilungsannahme). Die Fragen in der Klausur sind derart, dass Klaus in 65 % der Fälle die Antwort weiß.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Klaus Frage 1 richtig beantwortet?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Klaus die Antwort zu Frage 1 weiß
unter der Bedingung, dass er Frage 1 richtig ankreuzt?
c) Die Klausur bestehe aus 12 Fragen. Sei N die Zufallsvariable, die die Anzahl der
Fragen beschreibt, die Klaus richtig ankreuzt. Bestimmen Sie den Erwartungswert E(N) und die Varianz Var(N). |
Mich interessiert hier besonders meine Lösung zu c)
W = Klaus weiß die Antwort
W' = Klaus weiß die Antwort nicht
R = Antwort ist richtig
R' = Antwort ist nicht richtig
P(W) = 0,65
P(W') = 0.35
P(R | W) = 1
P(R' | W) = 0
P(R | W') = 0,2
P(R' | W') = 0,8
[Die brauchen wir für die c]
a) P(R) = P(R|W) * P(W) + P(R|W') * P(W') = 0,72
c)
Also ich habe mir gedacht, dass wir hier ja eine Binomialverteilung haben (richtig / nicht richtig). Und die Wahrscheinlichkeit, dass eine Frage richtig beantwortet ist, ist ja P(R) = 0,72 (siehe a)
Also schreibe ich:
E(X) = 12 * 0,72 = 8,64
Var(X) = 12 * 0.72 * (1 - 0.72) = 2,4192
Stimmt meine c?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:48 Mo 23.09.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo starki,
ich habe die konkreten Zahlenwerte nicht nachgerechnet und vertraue darauf, dass du die Rechnungen korrekt in den Taschenrechner eingegeben hast... 
> W = Klaus weiß die Antwort
> W' = Klaus weiß die Antwort nicht
> R = Antwort ist richtig
> R' = Antwort ist nicht richtig
>
> P(W) = 0,65
> P(W') = 0.35
> P(R | W) = 1
> P(R' | W) = 0
> P(R | W') = 0,2
> P(R' | W') = 0,8
>
> [Die brauchen wir für die c]
> a) P(R) = P(R|W) * P(W) + P(R|W') * P(W') = 0,72
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") (Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit)
> c)
> Also ich habe mir gedacht, dass wir hier ja eine
> Binomialverteilung haben (richtig / nicht richtig). Und die
> Wahrscheinlichkeit, dass eine Frage richtig beantwortet
> ist, ist ja P(R) = 0,72 (siehe a)
Ja, $N$ ist binomialverteilt zu den Parametern $n=12$ und $p=0,72$. Begründung:
Sei [mm] $R_i$ [/mm] das Ereignis, dass Klaus die $i$-te Frage richtig beantwortet [mm] ($i=1,\ldots,12$). [/mm] Dann kann nach a) [mm] $P(R_i)=0,72$ [/mm] für alle [mm] $i=1,\ldots,12$ [/mm] angenommen werden. Außerdem können wir die Familie [mm] $(R_i)_{i=1,\ldots,12}$ [/mm] als stochastisch unabhängig annehmen.
Sei nun für [mm] $i=1,\ldots,12$ [/mm] die Zufallsgrößen [mm] $N_i$ [/mm] definiert durch
[mm] $N_i(\omega):=\begin{cases} 0, & \mbox{für } \omega\notin R_i\\ 1, & \mbox{für } \omega\in R_i\end{cases}$
[/mm]
(Indikatorfunktion von [mm] $R_i$).
[/mm]
Dann ist die Familie [mm] $(N_i)_{i=1,\ldots,12}$ [/mm] stochastisch unabhängig, jedes [mm] $N_i$ [/mm] ist Bernoulli-verteilt zum Parameter $p=0,72$ und den Bedeutungen der Zufallsvariablen [mm] $N_i$ [/mm] und $N$ entnehmen wir
[mm] $N=\summe_{i=1}^{12}N_i$.
[/mm]
Also ist $N$ tatsächlich binomialverteilt zu den Parametern $n=12$ und $p=0,72$.
> Also schreibe ich:
> E(X) = 12 * 0,72 = 8,64
> Var(X) = 12 * 0.72 * (1 - 0.72) = 2,4192
>
> Stimmt meine c?
Ja! Ein sehr geschickter Weg übrigens!
Viele Grüße
Tobias
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