Bedingte Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:59 Sa 14.02.2009 | | Autor: | Aurelie |
| Aufgabe | | Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass von vier Glühbirnen, die gleichzeitig eingeschaltet werden, keine länger als $10$ Stunden brennt, wenn mindestens zwei der Glühbirnen bereits nach $5$ Stunden erloschen sind. Nehmen Sie dabei an, dass die Lebensdauer der vier Glühbirnen voneinander unabhängig, identisch exponentialverteilt sind mit Dichte [mm] f(x)=\bruch{1}{5}exp(-\bruch{1}{5}) [/mm] für x>0 |
Hallo,
Ich habe mir dazu überlegt wenn die Lebensdauer der Glühbirnen unabhängig voneinander ist, so setzt sich die Wahrscheinlichkeit dafür das die anderen Birnen innerhalb von 10 Stunden erlischen folgendermaßen zusammen:
Nach 5 Stunden gibt es wie angenommen folgende Fälle:
1.Fall: 2 Birnen schon erloschen [mm] $\Rightarrow P_1=P(5
2.Fall: 3 Birnen schon erloschen [mm] $\Rightarrow P_2=P(5
3.Fall: 4 Birnen schon erloschen [mm] $\Rightarrow P_3=1$
[/mm]
Insgesamt ist also die gesuchte Wahrscheinlichkeit:
[mm] $P=P_1*P_2*P_3=P(5
Ich wüsste gerne ob das so stimmt??
Danke schonmal für eure Hilfe!
Viele Grüße,
Christine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:41 Sa 14.02.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin Christine,
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> Ich habe mir dazu überlegt wenn die Lebensdauer der
> Glühbirnen unabhängig voneinander ist, so setzt sich die
> Wahrscheinlichkeit dafür das die anderen Birnen innerhalb
> von 10 Stunden erlischen folgendermaßen zusammen:
> Nach 5 Stunden gibt es wie angenommen folgende Fälle:
> 1.Fall: 2 Birnen schon erloschen [mm]\Rightarrow P_1=P(5
M.E. ist $ [mm] P_1=P(0
>
> 2.Fall: 3 Birnen schon erloschen [mm]\Rightarrow P_2=P(5
Analog: $ [mm] P_2=P(0
Die gesuchte Wsk ist also [mm] $(1-\exp(-2))^3$.
[/mm]
vg Luis
PS:
Habe mir die Chose noch einmal ueberlegt. Ich meine, wir sind hier
beide auf dem Holzweg.
Betrachten wir die Ereignisse:
A: Alle Birnen sind vor 10 Stunden erloschen.
B: Mindestens zwei Birnen sind vor 5 Stunden erloschen.
Gesucht ist
[mm] $P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$
[/mm]
Das Ereignis [mm] $A\cap [/mm] B$ kann auf 11 Weisen eintreten:
6 Weisen, wo genau 2 Birnen hoechstens 5 Stunden halten und 2 hoechstens 10 Stunden halten. Die Wsk fuer jedes dieser Ereignisse ist [mm] $(1-\exp(-1))^2 (1-\exp(-2))^2$.
[/mm]
4 Weisen wo genau 3 Birnen hoechstens 5 Stunden halten und 1 hoechstens 10 Stunden haelt. Die Wsk fuer jedes dieser Ereignisse ist [mm] $(1-\exp(-1))^3 (1-\exp(-2))$.
[/mm]
Alle Birnen halten hoechstens 5 Stunden.
Die Wsk hierfuer ist [mm] $(1-\exp(-1))^4$.
[/mm]
Es folgt [mm] $P(A\cap B)=6(1-\exp(-1))^2 (1-\exp(-2))^2 +4(1-\exp(-1))^3 (1-\exp(-2))+ (1-\exp(-1))^4$.
[/mm]
Analog ist
[mm] $P(B)=6(1-\exp(-1))^2 +4(1-\exp(-1))^3 [/mm] + [mm] (1-\exp(-1))^4$.
[/mm]
vg Luis
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