Bedingte Wahrscheinlichekit < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:52 Sa 17.04.2010 | | Autor: | kegel53 |
| Aufgabe | Sei [mm] (\Omega,\mathcal{F},P) [/mm] ein Wahrscheinlichkeitsraum.
Sei A ein Ereignis mit unbekannter Wahrscheinlichkeit und B ein Ereignis mit Wahrscheinlichkeit 1. |
Tag Leute,
mich interessiert , wie ich aus den obigen Informationen bereits schließen kann, dass gilt P[A|B]=P[A]
bzw. wie ich das formal beweisen kann.
Es ist nach Definition auf jeden Fall [mm] P[A|B]=P[A\cap [/mm] B] aber das bringt mich nicht weiter, es sei denn es herrscht stochastische Unabhängigkeit zwischen A und B, was ja nicht unbedingt der Fall. Also wie krieg ich das hin?
Vielleicht kann hier ja jemand schnell Abhilfe schaffen. Vielen Dank schon mal.
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Hiho,
es gilt:
$1 = P(B) [mm] \le [/mm] P(A [mm] \cup [/mm] B) = P(A) + P(B) - P(A [mm] \cap [/mm] B) = P(A) + 1 - P(A [mm] \cap B)\le [/mm] 1$
Umstellen ergibt das gewünschte Ergebnis.
MFG;
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:50 Sa 17.04.2010 | | Autor: | kegel53 |
> [mm]1 = P(B) \le P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = P(A) + 1 - P(A \cap B)\le 1[/mm]
Super vielen Dank. Nur noch die kurze Frage warum hinten [mm] \le [/mm] 1 steht.
Wie kommst du darauf? Oder steht das da einfach, weil [mm] \le [/mm] 1 immer gültig ist?
Vielen Dank mal.
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Hiho,
> Super vielen Dank. Nur noch die kurze Frage warum hinten
> [mm]\le[/mm] 1 steht.
> Wie kommst du darauf? Oder steht das da einfach, weil [mm]\le[/mm]
> 1 immer gültig ist?
Ja. Also klein klein aufgetütelt:
1.) $B [mm] \subset A\cup [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] P(B) [mm] \le P(A\cup [/mm] B)$
2.) Insbesondere gilt immer [mm] $P(A\cup [/mm] B) [mm] \le [/mm] 1$, da P Wahrscheinlichkeitsmaß
Daher folgt mit 1.) und 2.)
$1 = P(B) [mm] \le P(A\cup [/mm] B) [mm] \le [/mm] 1$
Und damit sofort [mm] $P(A\cup [/mm] B) = 1$
Als nächstes gilt: [mm] $P(A\cup [/mm] B) = P(A) + P(B) - [mm] P(A\cup [/mm] B) = P(A) + 1 - [mm] P(A\cup [/mm] B)$
Und somit:
$P(A) + 1 - [mm] P(A\cup [/mm] B) = 1$
[mm] $\gdw [/mm] P(A) = [mm] P(A\cup [/mm] B)$
Der erste Post war nur kürzer 
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:14 So 18.04.2010 | | Autor: | kegel53 |
Vielen Dank nochmal!! Schönen Sonntag noch!
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