Bedingte W'keit und bed. EW < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:22 Do 16.12.2010 | | Autor: | janisE |
| Aufgabe | Zwei Würfe werden mit einem fairen Würfel durchgeführt. Sei X die Augenzahl des ersten Wurfes und Y das Maximum beider Würfe.
a)
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsgewichte von Y gegeben {X = k} für [mm] k \in \{1,\cdots,6\} [/mm]
b)
Für eine diskrete ZV sei der bedingte EW definiert als
[mm] E[Y|B] = [/mm] [mm] \sum\limits_{y \in Y(\Omega)} y \cdot P\left(\{Y=y\} | B\right) [/mm]
Bestimmen Sie [mm] E[Y|\{X=k\}] [/mm] |
Hallo!
Was ich bisher habe:
a)
[mm] \Omega = \menge{1,\cdots,6}^2, |\Omega| = 36[/mm]
Gesuchst ist [mm] P_{Y|\{X=k\}}(n) = P(\{Y=n\}|\{X=k\}) [/mm].
Es folgt [mm] P(\{Y=n\}|\{X=k\}) = \frac{P(\{Y=n\}\cap\{X=k\})}{P(\{X=k\})} = \frac{P(\{Y=n\}\cap\{X=k\})}{\frac{1}{36}} [/mm]
und weiter
[mm]P(\{Y=n\}\cap\{X=k\}) = \begin{cases} 0 & k>n \\
\frac{1}{36} & k < n \\
\frac{|\{x \in \{1,\cdots,6\}, x \leq k\}|}{36} & k = n \end{cases}[/mm]
Doch wie bringe ich dies auf ein "Ergebnis"?
b)
Hier habe ich leider auch nur einen Anfang:
[mm]E[Y|\{X=k\}] = \sum\limits_{y\in Y(\Omega)} y \cdot P(\{Y=y\}|B)[/mm]
[mm] = (1 \cdot P(\{Y=1\}|B) + \cdots + (6 \cdot P(\{Y=6\}|B) [/mm]
[mm] \left(1 \cdot \frac{P(\{Y=1\} \cap B)}{P(B)}\right) + \cdots + \left(6 \cdot \frac{P(\{Y=6\} \cap B)}{P(B)}\right) [/mm]
Aber wie bekomme ich die Wahrscheinlichkeiten aufgelöst?
Danke im Voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:22 Do 16.12.2010 | | Autor: | luis52 |
Moin Janis ![[huhu]](/images/smileys/huhu.gif "[huhu]")
>
> Was ich bisher habe:
>
> a)
>
> [mm]\Omega = \menge{1,\cdots,6}^2, |\Omega| = 36[/mm]
> Gesuchst ist
> [mm]P_{Y|\{X=k\}}(n) = P(\{Y=n\}|\{X=k\}) [/mm].
> Es folgt
> [mm]P(\{Y=n\}|\{X=k\}) = \frac{P(\{Y=n\}\cap\{X=k\})}{P(\{X=k\})} = \frac{P(\{Y=n\}\cap\{X=k\})}{\frac{1}{36}}[/mm]
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") $P(X=k)=1/6$ fuer [mm] $k=1,\dots,6$.
[/mm]
Es hakt offenbar an der Bestimmung der gemeinsamen Verteilung von $(X,Y)_$. Schreib dir mal eine [mm] $6\times6$-Tabelle [/mm] auf mit den Ueberschriften [mm] $1,\dots,6$ [/mm] (Ergebnis im zweiten Wurf) und den Zeilenbezeichnungen [mm] $1,\dots,6$ [/mm] (Ergebnis im ersten Wurf). In die Zelle $(x,y)_$ schreibst du den Wert von $(X,Y)_$. So steht in der 3. Zeile und der 5 Spalte (3,5). Da jede Zelle die Wsk 1/36 hat, kannst du nun [mm] $P(X=x\cap [/mm] Y=y)$ fuer alle [mm] $x,y=1,\dots,6$ [/mm] bestimmen.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:39 Do 16.12.2010 | | Autor: | janisE |
> Moin Janis
Moin, moin!
> >
> > Was ich bisher habe:
> >
> > a)
> >
> > [mm]\Omega = \menge{1,\cdots,6}^2, |\Omega| = 36[/mm]
> > Gesuchst
> ist
> > [mm]P_{Y|\{X=k\}}(n) = P(\{Y=n\}|\{X=k\}) [/mm].
> > Es folgt
> > [mm]P(\{Y=n\}|\{X=k\}) = \frac{P(\{Y=n\}\cap\{X=k\})}{P(\{X=k\})} = \frac{P(\{Y=n\}\cap\{X=k\})}{\frac{1}{36}}[/mm]
>
> [mm]P(X=k)=1/6[/mm] fuer [mm]k=1,\dots,6[/mm].
Das hatte ich erst, und hab es dann wieder verworfen. Ich darf nicht so lange Pausen machen ;)
[mm] [/mm][mm] P(\{Y=n\}|\{X=k\}) = \frac{P(\{Y=n\}\cap\{X=k\})}{P(\{X=k\})} = \frac{P(\{Y=n\}\cap\{X=k\})}{\frac{1}{6}} [/mm]
Besser?
> Es hakt offenbar an der Bestimmung der gemeinsamen
> Verteilung von [mm](X,Y)_[/mm]. Schreib dir mal eine
> [mm]6\times6[/mm]-Tabelle auf mit den Ueberschriften [mm]1,\dots,6[/mm]
> (Ergebnis im zweiten Wurf) und den Zeilenbezeichnungen
> [mm]1,\dots,6[/mm] (Ergebnis im ersten Wurf). In die Zelle [mm](x,y)_[/mm]
> schreibst du den Wert von [mm](X,Y)_[/mm]. So steht in der 3. Zeile
> und der 5 Spalte (3,5). Da jede Zelle die Wsk 1/36 hat,
> kannst du nun [mm]P(X=x\cap Y=y)[/mm] fuer alle [mm]x,y=1,\dots,6[/mm]
> bestimmen.
Du meinst also für alle einzeln berechnen, also für jede der 36 Möglichkeiten x und y zu verteilen die einzelne Wahrscheinlichkeit ausrechnen?
Und wie sieht meine b) aus?
Danke und Grüße,
Janis
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:58 Do 16.12.2010 | | Autor: | luis52 |
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> Und wie sieht meine b) aus?
Schaun mer mal was du bei a) so anschleppst.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:35 Do 16.12.2010 | | Autor: | janisE |
> > Und wie sieht meine b) aus?
>
> Schaun mer mal was du bei a) so anschleppst.
Ich habe das, was du vorgeschlagen hattest ja vorher schon so ähnlich gemacht, und als Ergebnis
[mm] P(\{Y=n\}\cap\{X=k\}) = \begin{cases} 0 & k>n \\
\frac{1}{36} & k < n \\
\frac{|\{x \in \{1,\cdots,6\}, x \leq k\}|}{36} & k = n \end{cases} [/mm]
herausbekommen. Also das ist es, wenn ich das Ergebnis generisch halten möchte. Die Frage ist halt, wie bekomme ich diese Definition in den Term [mm] \frac{P(\{Y=n\}\cap\{X=k\})}{\frac{1}{6}} [/mm] integriert (richtig ist es doch, oder?)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:10 Do 16.12.2010 | | Autor: | luis52 |
Alles wird einfacher, wenn du mal eine Tabelle mit der gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsfunktiion von $(X.Y)_$ erstellst.
vg Luis
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:56 Do 16.12.2010 | | Autor: | luis52 |
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> aber wie hilft mir das jetzt weiter?
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Sehr schoen. Du kannst jetzt 6 bedingte Verteilungen ablesen, wenn du zeilenweise vorgehst. Beispielsweise ist [mm] $P(Y=3\mid [/mm] X=3)=(3/36)/(1/6)=1/2$, [mm] $P(Y=y\mid [/mm] X=3)=(1/36)/(1/6)=1/6$ fuer $y=4,5,6$ und [mm] $P(Y=y\mid [/mm] X=3)=0$ sonst. Damit ist Teil (a) erledigt.
Bei Teil (b) musst die Erwartuungswerte dieser 6 bedingten Verteilungen bestimmen.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:33 Do 16.12.2010 | | Autor: | janisE |
> Sehr schoen. Du kannst jetzt 6 bedingte Verteilungen
> ablesen, wenn du zeilenweise vorgehst. Beispielsweise ist
> [mm]P(Y=3\mid X=3)=(3/36)/(1/6)=1/2[/mm], [mm]P(Y=y\mid X=3)=(1/36)/(1/6)=1/6[/mm]
> fuer [mm]y=4,5,6[/mm] und [mm]P(Y=y\mid X=3)=0[/mm] sonst. Damit ist Teil (a)
> erledigt.
Also ist das Ergebnis die Tabelle?
> Bei Teil (b) musst die Erwartuungswerte dieser 6 bedingten
> Verteilungen bestimmen.
Welche 6 bedingten Verteilungen? Meinst du [mm] E[Y|\{X=k\}] [/mm] mit k [mm] \in [/mm] {1,2,3,4,5,6}?
Das wäre für k = 1
[mm]E[Y| \{X=1\}] & = & \sum\limits_{y\in Y(\Omega)} y \cdot P(\{Y=y\}|\{X=1\}) [/mm]
[mm]=\left(1 \cdot \frac{P(\{Y=1\} \wedge \{X=1\}) }{P(\{X=1\}}\right) + \cdots + \left(6 \cdot \frac{P(\{Y=6\} \wedge \{X=1\}) }{P(\{X=1\}}\right) [/mm]
[mm] = \left(1 \cdot \frac{\frac{1}{36}}{\frac{1}{6}}\right) + \left(2 \cdot \frac{\frac{2}{36}}{\frac{1}{6}}\right) + \left(3 \cdot \frac{\frac{3}{36}}{\frac{1}{6}}\right) + \left(4 \cdot \frac{\frac{4}{36}}{\frac{1}{6}}\right) + \left(5 \cdot \frac{\frac{5}{36}}{\frac{1}{6}}\right) + \left(6 \cdot \frac{\frac{6}{36}}{\frac{1}{6}}\right) = \frac{1}{6} + \frac{2}{3} + \frac{3}{2} + \frac{8}{3} + \frac{25}{6} + 6 = 15 \frac{1}{6}[/mm]
Und das ist für alle k von 1 bis 6 gefragt, oder wie?
Wieder einmal danke für deine Geduld ;)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:54 Fr 17.12.2010 | | Autor: | luis52 |
> > Sehr schoen. Du kannst jetzt 6 bedingte Verteilungen
> > ablesen, wenn du zeilenweise vorgehst. Beispielsweise ist
> > [mm]P(Y=3\mid X=3)=(3/36)/(1/6)=1/2[/mm], [mm]P(Y=y\mid X=3)=(1/36)/(1/6)=1/6[/mm]
> > fuer [mm]y=4,5,6[/mm] und [mm]P(Y=y\mid X=3)=0[/mm] sonst. Damit ist Teil (a)
> > erledigt.
>
> Also ist das Ergebnis die Tabelle?
Ja, die Tabelle der bedingten Verteilungen.
>
> > Bei Teil (b) musst die Erwartuungswerte dieser 6 bedingten
> > Verteilungen bestimmen.
>
> Welche 6 bedingten Verteilungen? Meinst du [mm]E[Y|\{X=k\}][/mm] mit
> k [mm]\in[/mm] {1,2,3,4,5,6}?
Ja.
> Das wäre für k = 1
>
> [mm]E[Y| \{X=1\}] & = & \sum\limits_{y\in Y(\Omega)} y \cdot P(\{Y=y\}|\{X=1\})[/mm]
>
> [mm]=\left(1 \cdot \frac{P(\{Y=1\} \wedge \{X=1\}) }{P(\{X=1\}}\right) + \cdots + \left(6 \cdot \frac{P(\{Y=6\} \wedge \{X=1\}) }{P(\{X=1\}}\right)[/mm]
>
> [mm]= \left(1 \cdot \frac{\frac{1}{36}}{\frac{1}{6}}\right) + \left(2 \cdot \frac{\frac{2}{36}}{\frac{1}{6}}\right) + \left(3 \cdot \frac{\frac{3}{36}}{\frac{1}{6}}\right) + \left(4 \cdot \frac{\frac{4}{36}}{\frac{1}{6}}\right) + \left(5 \cdot \frac{\frac{5}{36}}{\frac{1}{6}}\right) + \left(6 \cdot \frac{\frac{6}{36}}{\frac{1}{6}}\right) = \frac{1}{6} + \frac{2}{3} + \frac{3}{2} + \frac{8}{3} + \frac{25}{6} + 6 = 15 \frac{1}{6}[/mm]
>
Wie kommst denn darauf?
[mm]E[Y| \{X=1\}] & = & \sum\limits_{y\in Y(\Omega)} y \cdot P(\{Y=y\}|\{X=1\})[/mm]
[mm]=\left(1 \cdot \frac{P(\{Y=1\} \wedge \{X=1\}) }{P(\{X=1\}}\right) + \cdots + \left(6 \cdot \frac{P(\{Y=6\} \wedge \{X=1\}) }{P(\{X=1\}}\right)[/mm]
[mm]= \left(1 \cdot \frac{\frac{1}{36}}{\frac{1}{6}}\right) + \left(2\cdot \frac{\frac{1}{36}}{\frac{1}{6}}\right) + \left(3 \cdot \frac{\frac{1}{36}}{\frac{1}{6}}\right) + \left(4 \cdot \frac{\frac{1}{36}}{\frac{1}{6}}\right) + \left(5 \cdot \frac{\frac{1}{36}}{\frac{1}{6}}\right) + \left(6 \cdot \frac{\frac{1}{36}}{\frac{1}{6}}\right) = \frac{21}{6} = 3 \frac{1}{2[/mm]
ein Wert, der zwischen 1 und 6 liegt, wie es sein muss.
> Und das ist für alle k von 1 bis 6 gefragt, oder wie?
So ist es.
vg Luis
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![[]](http://img684.imageshack.us/img684/4831/tabelled.png){kind=small}
http://img684.imageshack.us/img684/4831/tabelled.png![[]](http://img822.imageshack.us/img822/9503/tabellen.png){kind=small}
http://img822.imageshack.us/img822/9503/tabellen.png