Bedingte W'keit berechnen < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:58 Mi 30.06.2010 | | Autor: | kegel53 |
| Aufgabe | Sie kommen nach Hause. Mit Wahrscheinlichkeit 1/3 gab es während Ihrer Abwesenheit einen Anruf auf Ihrem Festnetztelefon.
Falls es einen Anruf gab, so blinkt Ihr Anrufbeantworter alle 20 Sekunden, ansonsten blinkt er nicht.
In den ersten 4 Sekunden, in denen Sie auf den Anrufbeantworter schauen, blinkt dieser nicht.
Mit welcher auf diese Beobachtung bedingten Wahrscheinlichkeit gab es trotzdem einen Anruf? |
Hallo Leute,
also sei zunächst sei [mm] A:=\text{Es gab einen Anruf auf dem Festnetztelefon}, B:=\text{Anrufbeantworter blinkt in ersten 4 Sekunden nicht}.
[/mm]
Dann gilt:
[mm] P[A]=\bruch{1}{3}, P[A^c]=\bruch{2}{3}
[/mm]
Gesucht ist ja nun P[A|B]!
Ich bräuchte hierbei allerdings einen Tipp wie ich das nun angehe bzw. wie ich P[B] berechne?!
Vielen Dank schon mal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:38 Mi 30.06.2010 | | Autor: | dormant |
Hi!
P(B|A)=4/10, vermutlich. Da deine erwartete Ankuft genau zwischen zwei Blinkern ist. Das musst du dir aber genauer überlegen.
Ja und [mm] P(B|A^c)=1.
[/mm]
Grüße,
dormant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:05 Mi 30.06.2010 | | Autor: | kegel53 |
Hey, vielen Dank!
Ich versteh noch nicht ganz wie du darauf kommst, dass die erwartete Ankunft gerade zwischen zwei "Blinkern" liegt. Kannst du das etwas genauer erklären? Dank dir!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:36 Mi 30.06.2010 | | Autor: | dormant |
Hi!
Ok, das muss man etwas präziser machen. Da kommt ich auch auf was anderes als 0,5 :)
Wir sind auf dem Ereignis, dass es einen Anruf gab, d.h. das Ding blinkt innerhalb von 20 Sekunden mindestens ein mal.
Du kommst an zwischen zwei Blinkern. Egal welche zwei. Deine Ankuftszeit zwischen diesen zwei ist uniform auf [0, 20] verteilt. Das modellieren wir mit einer Indikatorfunktion, die angibt wann man in diesen 20 Sekunden hemigekommen ist: [mm] 1_{\{Ankunft=t\}}. [/mm] Gleichzeitig passiert B. Das ist aber von der Ankuftszeit abhängig. Nämilch gibt B an, dass t<16.
Dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir nach unserer zufälligen Ankuft das Ereignis B beobachten (gegeben es hat einen auf jeden Fall einen Anruf gegeben) gerade:
[mm] P(\{Ankunft=t\}\cap B)=P(1_{\{Ankunft<16\}})=E(\{Ankunft<16\})=0,8.
[/mm]
Bei diesen Wahrscheinlichkeiten muss man immer aufpassen. In solchen Situationen ist es immer empfehlenswert die bayessche Interpretation der W'Keit zu prüfen. Ich hab aber nie so richtig gelernt, und mach's deswegen in der straffen Kolmogorov Axiomatik :)
Das leuchtet ja bei diesem Beispiel irgendwie ein. Wenn das innerhalb von 4 Sekunden nicht blinkt weiß man bloß, dass man zwischen 0 und 16 heimgekommen ist. Mehr nicht.
Grüße,
dormant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:44 Mi 30.06.2010 | | Autor: | kegel53 |
Okay jetzt ist die Sache klarer! Vielen Dank.
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