Bedingte Erwartung < stoch. Prozesse < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:16 Fr 11.01.2008 | | Autor: | Storm |
| Aufgabe | | [mm] E\{Z_{n+1}|\sigma\{S_1,S_2,...,S_n\}\}=Z_n \Rightarrow E\{Z_n|\sigma\{S_1,...,S_{n-k}\}\}=Z_{n-k} [/mm] k>1 |
Hallo,
mir wurde diese Aufgabe während der Besprechung eines Beispiels gestellt, wo wir aber das Ergebnis im Beispiel nicht verwendeteten, darum bin ich mir nicht sicher ob folgende Eigenschaften bei der Aufgabe helfen:
- [mm] (X_n) [/mm] Folge unabh. Zufallsgrößen
- [mm] S_n:=X_1+...+X_n
[/mm]
- [mm] \sigma\{X_1,...,X_n\}=\sigma\{S_1,...,S_n\}
[/mm]
- [mm] X_{n+1} [/mm] unabhängig von [mm] X_1,...,X_n
[/mm]
- [mm] E\{X_{n+1}|\sigma\{S_1,...,S_n\}\}=E(X_{n+1}) [/mm] <-- hier denk ich halt, dass die Eigenschaften mit der Aufgabe nix zu tun haben
Nun zu meinen Anfang zu der obigen Aufgabe:
[mm] E\{Z_n|\sigma\{S_1,...,S_{n-k}\}\}=E\{E\{Z_{n+1}|\sigma\{S_1,S_2,...,S_n\}\}|\sigma\{S_1,...,S_{n-k}\}\}
[/mm]
Da [mm] \sigma\{S_1,...,S_n\}\subset\sigma\{S_1,...,S_n\}\subset\mathcal{F} \Rightarrow E\{E\{Z_{n+1}|\sigma\{S_1,S_2,...,S_n\}\}|\sigma\{S_1,...,S_{n-k}\}\}=E\{Z_{n+1}|\sigma\{S_1,...,S_{n-k}\}\}
[/mm]
Wenn nun [mm] Z_{n+1} [/mm] bezgl. [mm] \sigma\{S_1,...,S_{n-k}\} [/mm] meßbar wäre folgt die Behauptung. Ja aus meiner Sicht ist dies gerade aber nicht der Fall, oder?
Vielen Dank für eure Hilfe
MfG
Stefan
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Verrat uns doch erstmal, was die Z mit den X zu tun haben...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:23 Fr 11.01.2008 | | Autor: | Zneques |
Hallo,
Dein Schritt ist doch schon quasi die Lösung. Nur warum führst du ihn von [mm] Z_n [/mm] zu [mm] Z_{n+1} [/mm] aus wenn du doch von [mm] Z_n [/mm] nach [mm] Z_{n-k} [/mm] möchtest ?
[mm] E\{Z_n|\sigma\{S_1,...,S_{n-k}\}\}=E\{E\{Z_n|\sigma\{S_1,S_2,...,S_{n-1}\}\}|\sigma\{S_1,...,S_{n-k}\}\} [/mm] (da [mm] \sigma\{S_1,...,S_{n-1}\}\subset\sigma\{S_1,...,S_{n-k}\}\subset\mathcal{F} [/mm] )
[mm] =E\{Z_{n-1}|\sigma\{S_1,S_2,...,S_{n-k}\}\} [/mm]
[mm] =E\{E\{Z_{n-1}|\sigma\{S_1,S_2,...,S_{n-2}\}\}|\sigma\{S_1,...,S_{n-k}\}\}
[/mm]
...
[mm] =E\{Z_{n-k+1}|\sigma\{S_1,S_2,...,S_{n-k}\}\} [/mm]
[mm] =Z_{n-k}
[/mm]
Ciao.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:22 Fr 11.01.2008 | | Autor: | Storm |
Vielen Dank, für eure schnelle Antwort :)
@generation...x
Das war eines meiner Probleme wo ich mir die Aufgabe angeschaut habe, darum hatte ich die Vorraussetzungen des Beispiel mit aufgeschrieben, hinsichtlich dem Fall X=Z.
@Zneques
Oh, ja... gute Frage :(
MfG
Stefan
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Sinnvoll wäre doch Z=S. Dann wäre das Ganze eine Beschreibung der Markow-Eigenschaft (würde hier voraussetzen, dass [mm]E(X_i)=0[/mm] ).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:34 Sa 12.01.2008 | | Autor: | Storm |
Hi,
ja du hast recht, mit Z=S, im Beispiel kam noch folgendes vor:
[mm] E\{S_{n+1}|\sigma\{S_1,...S_n\}\}=E(X_{n+1})+S_n [/mm] und dies ist ja gerade die Vorraussetzung meiner Aufgabe, wenn [mm] E(X_{n+1})=0 [/mm] ist.
MfG
Stefan
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